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用一节课的时间，提高生活幸福感
------小甲鱼
欢乐与傻笑并存
智慧与邪恶同在
笔记内涵------
图的存储结构
图的存储结构相比较线性表与树来说就复杂很多。
我们回顾下：
对于线性表来说，是一对一的关系，所以用数组或者链表均可简单存放。
树结构是一对多的关系，所以我们要将数组和链表的特性结合在一起才能更好的存放。
那么我们的图，是多对多的情况，另外图上的任何一个顶点都可以被看作是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。
我们仔细观察以下几张图，然后深刻领悟一下：
你发现了吗：
因为任意两个顶点之间都可能存在联系。
因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系。
（内存物理位置是线性的，图的元素关系是平面的）
如果用多重链表来描述倒是可以做到，但在几节课前的树章节我们已经讨论过。
纯粹用多重链表导致的浪费是无法想像的。
（如果各个顶点的度数相差太大，就会造成巨大的浪费）
所幸，前辈们已经帮想好了出路，我们接下来会谈图的五种不同的存储结构，大家做好准备哦~
邻接矩阵（无向图）
考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成，合在一起比较困难。
那就很自然地考虑到分为两个结构来分别存储。
顶点因为不区分大小、主次。
所以用一个一维数组来存储是狠不错的选择。
而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，一维数组肯定就搞不定了。
那我们不妨考虑用一个二维数组来存储。
于是我们的邻接矩阵方案就诞生了！
图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。
一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。
我们可以设置两个数组，顶点数组为vertex[4]={V0,V1,V2,V3}。
边数组arc[4][4]为对称矩阵(0表示不存在顶点间的边，1表示顶点间存在边)。
对称矩阵：
所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足
- a[i][j]=a[j][i](0<=i,j<=n)
即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的。
有了这个二维数组组成的对称矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息：
◊要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了；
◊要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点Vi在邻接矩阵中第i行(或第i列)的元素之和；
◊求顶点Vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[ i ][ j ]为1就是邻接点咯。
邻接矩阵（有向图）
无向图的边构成了一个对称矩阵，貌似浪费了一半的空间。
那如果是有向图来存放，会不会把资源都利用得很好呢？
可见顶点数组vertex[4]={V0,V1,V2,V3}，弧数组arc[4][4]也是一个矩阵。
但因为是有向图，所以这个矩阵并不对称。
例如由V1到V0有弧，得到arc[1][0]=1，而V0到V1没有弧，因此arc[0][1]=0。
另外有向图是有讲究的，要考虑入度和出度，顶点V1的入度为1。
正好是第V1列的各数之和，顶点V1的出度为2，正好是第V1行的各数之和。
在图的术语中，我们提到了网这个概念，事实上也就是每条边上带有权的图就叫网。
这里“∞”表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值。
代码实现
仅供参考：
- // 时间复杂度为O(n+n^2+e)
- #define MAXVEX 100 // 最大顶点数
- #define INFINITY 65535 // 用65535来代表无穷大
- typedef struct
- {
- char vexs[MAXVEX]; // 顶点表
- int arc[MAXVEX][MAXVEX]; // 邻接矩阵
- int numVertexes, numEdges; // 图中当前的顶点数和边数
- } MGraph;
- // 建立无向网图的邻接矩阵
- void CreateMGraph(MGraph *G)
- {
- int i, j, k, w;
-
- printf("请输入顶点数和边数：\n");
- scanf("%d %d", &G->numVertexes, &G->numEdges);
-
- for( i=0; i < G->numVertexes; i++ )
- {
- scanf("%c", &G->vexs[i]);
- }
-
- for( i=0; i < G->numVertexes; i++ )
- {
- for( j=0; j < G->numVertexes; j++ )
- {
- G->arc[i][j] = INFINITY; // 邻接矩阵初始化
- }
- }
-
- for( k=0; k < G->numEdges; k++ )
- {
- printf("请输入边(Vi,Vj)上的下标i,下标j和对应的权w:\n"); // 这只是例子，提高用户体验需要进行改善
- scanf("%d %d %d", &i, &j, &w);
- G->arc[i][j] = w;
- G->arc[j][i] = G->arc[i][j]; // 是无向网图，对称矩阵
- }
- }
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发表于 2017-11-21 19:22:04
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