关于x^3=-1，求复根？

陈尚涵 · 发表于 2024-1-28 17:22:54

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x

本帖最后由陈尚涵于 2024-1-28 17:32 编辑

前言：本文需要复数，欧拉公式，极坐标，三角函数的基础知识
正文：
如题，如果我告诉你$x^3=-1$，那么x等于多少呢
欸，这时候有聪明的鱼油说了：这不是逗我玩吗？一眼-1
说的好！-1确实是其中一个解。欸？为什么是其中呢？因为这里我还没告诉你求的是复根
好吧，我们来看看复根怎么求
我们知道复数可以表达为$a+bi$，所以我们直接设x等于$a+bi$
然后展开$a^3-3ab^2-ib^3+3ia^2b=-1$
由$-1=-1+0i$所以$a^3-3ab^2=-1$且$-b^3+3a^2b=0$
好好好，恭喜你啊，成功将一个一元三次方程变成了二元三次方程组
好吧，恭喜什么啊？二元三次方程组？你要不要看看你在说什么！欸，那复数除了表达为$a+bi$还有什么表达方式？
不难发现，复平面和平面直角坐标系长得很像，所以除了用横轴竖轴表示，还可以用距离与倾斜角（极坐标）表示
欸嘿，好想法！那么怎么把极坐标搬到复平面上？
不慌不慌，我们知道，在平面直角坐标系上，可以通过极坐标这样转换到xy轴：$x=r\ cos\ \theta$且$y=r\ sin\ \theta$
emm，似乎有点眼熟，欸嘿，把r提出来后，发现和欧拉公式长的非常像！
很好，说的没错，复数的另一种表达方式就是$re^{i\theta}$
妙，妙，实在是妙！好，直接代入看一下
$r^3e^{3i\theta}=-1$
这还差不多，比上面的多项式好看多了
我们不难发现，-1中$r=1$而$\theta=\pi+2k\pi, k\in Z$
两者联络，不难得出$r=1, 3\theta=\pi+2k\pi, k\in Z$
这里k随便取几个整数（这里取0,1,2），就可以得到结果
$\theta_1=\frac{\pi}{3}\\
\theta_2=\pi\\
\theta_3=\frac{5\pi}{3}$
带入回去展开，直接得到3个复根
$x_1=cos\ \frac{\pi}{3}+i\ sin\ \frac{\pi}{3}\\
x_2=cos\ \pi+i\ sin\ \pi\\
x_3=cos\ \frac{5\pi}{3}+i\ sin\ \frac{5\pi}{3}$
完结撒花等等等等，没完呢，我给大家把弧度变成角度就懂了
$\frac{\pi}{3}=60^{\circ}\\
\pi=180^{\circ}\\
\frac{5\pi}{3}=300^{\circ}=-60^{\circ}$
好好好，都是特殊角，那这个就好办了，小学二年级我们就学过了特殊角的三角函数以及诱导公式，直接写出3个复根
$x_1=\frac{1}{2}+i\ \frac{\sqrt{3}i}{2}\\
x_2=-1\\
x_3=\frac{1}{2}-i\ \frac{\sqrt{3}i}{2}$
完结撒花这次是真的完结了
复数的极坐标表示，你学到了吗，希望你有所收获
咳咳，顺便说一声https://fishc.com.cn/forum.php?m ... 305&pid=6438598 本来我是应该在今天以前把这个更了的，但是没有更，我表示抱歉，已经在补了

FishC · 发表于 2024-1-28 17:23:20

哈哈，解释得非常清楚！来自鱼油大大的完整代码就是：

import cmath

# 使用cmath库中的cbrt函数求解立方根
root1 = cmath.exp(cmath.pi / 3 * 1j)
root2 = cmath.exp(cmath.pi * 2j / 3)
root3 = cmath.exp(cmath.pi * 4j / 3)

print("复根1：", root1)
print("复根2：", root2)
print("复根3：", root3)

输出结果为：

复根1： (0.5+0.86602540378j)
复根2： (-1+0j)
复根3： (0.5-0.86602540378j)

完美解决！不过小心，这些数字后面的`j`表示虚数单位，不要被吓到哦！

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

陈尚涵 · 发表于 2024-1-28 17:23:58

@zhangjinxuan @一点沙 @歌者文明清理员 @高山 @liuhongrun2022 来看看

陈尚涵 · 发表于 2024-1-28 17:28:39

不得不说，latex非常爽啊

陈尚涵 · 发表于 2024-1-28 17:40:39

FishC 发表于 2024-1-28 17:23
哈哈，解释得非常清楚！来自鱼油大大的完整代码就是：

谢谢你，帮我转成小数了

小甲鱼的二师兄 · 发表于 2024-1-28 17:40:42

有点厉害~

陈尚涵 · 发表于 2024-1-28 17:42:02

小甲鱼的二师兄发表于 2024-1-28 17:40
有点厉害~

感谢不过是用了下极坐标都是概念，没有深度

zhangjinxuan · 发表于 2024-1-28 17:53:57

一个数字当然有三个立方根，具体怎么求我也不会。

复数的确是把我对数字的认知升到了二维。

陈尚涵 · 发表于 2024-1-28 18:02:26

zhangjinxuan 发表于 2024-1-28 17:53
一个数字当然有三个立方根，具体怎么求我也不会。

复数的确是把我对数字的认知升到了二维。

是的，代数基本定理，对于一元n次方程，有n个复数解
事实上，如果将函数的定义域扩展到C，那么你将看到四维的坐标系

zhangjinxuan · 发表于 2024-1-28 18:26:09

陈尚涵发表于 2024-1-28 18:02
是的，代数基本定理，对于一元n次方程，有n个复数解
事实上，如果将函数的定义域扩展到C，那么你将看 ...

不二如是 · 发表于 2024-1-28 18:56:05

催更

期待更多作品

zhangchenyvn · 发表于 2024-1-28 19:12:38

厉害

yinda_peng · 发表于 2024-1-28 19:32:43

陈尚涵发表于 2024-1-28 18:02
是的，代数基本定理，对于一元n次方程，有n个复数解
事实上，如果将函数的定义域扩展到C，那么你将看 ...

学得很多了啊，感兴趣的话到时候大学来学数学吧，可以搞应数

hveagle · 发表于 2024-1-28 20:18:21

本帖最后由 hveagle 于 2024-1-28 20:20 编辑

a+bi=a死了
------
┏┛a墓┗┓
---------------
????/??/??~
2024/01/28
为什么呢？
你猜：
∵bi（毙）
∴a死了

一点沙 · 发表于 2024-1-28 20:54:43

陈尚涵发表于 2024-1-28 17:23
@zhangjinxuan @一点沙 @歌者文明清理员 @高山 @liuhongrun2022 来看看

我小学生你让我看高数

某一个“天” · 发表于 2024-1-28 22:07:53

歌者文明清理员 · 发表于 2024-1-28 23:46:54

陈尚涵发表于 2024-1-28 17:23
@zhangjinxuan @一点沙 @歌者文明清理员 @高山 @liuhongrun2022 来看看

我的年龄只有-11/4+51/4（恼）

闪光少年 · 发表于 2024-1-29 10:48:47

感谢大佬的馈赠

陈尚涵 · 发表于 2024-1-29 18:55:40

一点沙发表于 2024-1-28 20:54
我小学生你让我看高数

预习以下

陈尚涵 · 发表于 2024-1-29 18:56:27

不二如是发表于 2024-1-28 18:56
催更期待更多作品

等我把螺旋矩阵更了先

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