海伦公式（Heron's formula）—— 三角形万能面积公式
海伦公式（Heron's formula）海伦公式（Heron's formula），是一个不需要知道高度，就可以直接计算任意三角形面积的公式。
这个公式特别有用，如果你知道这条公式，那么在考试中遇到三角形面积问题几乎就是开挂答题！
{:5_102:}
设一个三角形的三边长分别为 a、b、c，则该三角形的面积 A 可以通过下面的公式计算：
$A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$，其中，$s = \frac{a + b + c}{2}$
举例
三角形 ABC 的边长如下所示：
我们只需要先算出 s 的值：
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 8 + 9}{2} = 11$
那么三角形的面积 A 就是：
$A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\quad = \sqrt{11 \times (11 - 9) \times (11 - 5) \times (11 - 8)}$
$\quad = \sqrt{11 \times 2 \times 6 \times 3}$
$\quad = \sqrt{396}$
$\quad = 6\sqrt{11}$
利用勾股定理进行证明
利用勾股定理证明海伦公式，我们只需要做出三角形的高 h，如下：
由于
$h^2 = c^2 - d^2$
$h^2 = b^2 - (a - d)^2$
于是
$c^2 - d^2 = b^2 - a^2 + 2ad - d^2$
$a^2 - b^2 + c^2 = 2ad$
即
$d = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a}$
所以
$h^2 = c^2 - (\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a})^2$
$\quad = \frac{(2ac)^2 - (a^2 - b^2 + c^2)^2}{4a^2}$
$\quad = \frac{(2ac + (a^2 - b^2 + c^2))(2ac - (a^2 - b^2 + c^2))}{4a^2}$
$\quad = \frac{(2ac + a^2 - b^2 + c^2)(2ac - a^2 + b^2 + c^2)}{4a^2}$
$\quad = \frac{((a + c)^2 - b^2)(b^2 - (a - c)^2)}{4a^2}$
$\quad = \frac{((a + c) + b)((a + c) - b)(b + (a - c))(b - (a - c))}{4a^2}$
$\quad = \frac{(a + c + b)(a + c - b)(b + a - c)(b - a + c)}{4a^2}$
设 $s = \frac{a + b + c}{2}$
于是
$h^2 = \frac{(a + c + b)(a + c - b)(b + a - c)(b - a + c)}{4a^2}$
$\quad = \frac{2s \times 2(s - b) \times 2(s - c) \times 2(s - a)}{4a^2}$
$\quad = \frac{4s \times (s - b) \times (s - c) \times (s - a)}{a^2}$
由于面积 $A = \frac{ah}{2}$
所以
$A = \frac{a \times \sqrt{h^2}}{2}$
$\quad = \frac{a \times \sqrt{\frac{4s \times (s - b) \times (s - c) \times (s - a)}{a^2}}}{2}$
$\quad = \frac{a}{2} \times \sqrt{\frac{4s \times (s - b) \times (s - c) \times (s - a)}{a^2}}$
$\quad = \sqrt{\frac{a^2}{4} \times \frac{4s \times (s - b) \times (s - c) \times (s - a)}{a^2}}$
$\quad = \sqrt{s \times (s - a) \times (s - b) \times (s - c)}$
利用余弦定理进行证明
关于余弦定理的推导，小甲鱼前面已经出过详细的教程了。
感兴趣的鱼油可以参考一下 -> 余弦定理（以及推导过程）
已知三角形各角如下：
根据余弦定理：
$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
于是
$\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma}$
$\quad = \sqrt{(1 + \cos \gamma)(1 - \cos \gamma)}$
$\quad = \sqrt{(1 + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab})(1 - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab})}$
$\quad = \sqrt{(\frac{2ab + a^2 + b^2 - c^2}{2ab})(\frac{2ab - a^2 - b^2 + c^2}{2ab})}$
$\quad = \sqrt{(\frac{(a + b)^2 - c^2}{2ab})(\frac{c^2 - (a - b)^2}{2ab})}$
$\quad = \frac{\sqrt{(a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)}}{2ab}$
设 $s = \frac{a + b + c}{2}$
于是
$\sin \gamma = \frac{\sqrt{(a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)}}{2ab}$
$\quad = \frac{2s \times 2(s - c) \times 2(s - b) \times 2(s - a)}{2ab}$
$\quad = \frac{2}{ab} \times \sqrt{s \times (s - c) \times (s - b) \times (s - a)}$
由于 $A = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$
所以
$A = \frac{ab}{2} \times \frac{2}{ab} \times \sqrt{s \times (s - c) \times (s - b) \times (s - a)}$
$\quad = \sqrt{s \times (s - a) \times (s - b) \times (s - c)}$
能讲一下推导吗{:10_256:} 一点沙 发表于 2024-2-6 07:49
能讲一下推导吗
我会推导,我推过,用勾股定理. 学会了 一点沙 发表于 2024-2-6 07:49
能讲一下推导吗
已更新~ 数恐症犯了
页:
[1]