韦达定理：这是一个初中老师以为高中老师会讲，高中老师以为初中老师讲过了的定理！
韦达定理韦达定理（Vieta's formulas）是一个公式，它给出了多项式方程的根和系数的关系，因而又被代称为根与系数。
韦达定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现，并因此得名，通常适用于代数方程的标准形式。
韦达定理的实用之处在于，它提供一个不用直接把根解出来的方法来计算根之间的关系。
二次方程的韦达定理
对于标准形式的二次方程：
$ax^2 + bx + c = 0$
假设该方程的两个根是 $x_1$ 和 $x_2$。
那么，两个根的和等于一次项系数（b）的相反数除以二次项系数（a）：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
两个根的积等于常数项系数（c）除以二次项系数（a）：
$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$
三次方程的韦达定理
对于标准形式的三次方程：
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$
假设该方程的三个根是 $x_1$、$x_2$、$x_3$。
那么，三个根的和等于二次项次数（$b$）的相反数除以三次项系数（$a$）：
$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
任意两个根的乘积之和等于一次项系数（c）除以三次项系数（a）：
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$
所有根的乘积等于常数项（d）的相反数除以三次项系数（a）：
$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$
更高次方程的韦达定理
对于任意 $n$ 次多项式方程：
$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0$
假设该方程的 $n$ 个根是 $x_1$、$x_2$、$\dots$、$x_n$，韦达定理的一般形式表明，根与系数之间存在如下关系：
$
\left\{
\begin{aligned}
&x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\
&(x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_1x_n) + (x_2x_3 + x_2x_4 + \dots + x_2x_n) + \dots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
&\vdots \\
&x_1x_2 \dots x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}
\end{aligned}
\right.
$
证明
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xxs努力理解中{:10_261:}
信息量巨大：
因为17 分钟前困了
所以甲鱼熬了一夜了 初中老师讲了，在一元二次方程的打星号部分（也是整个初中数学唯一一处打了星号的部分），三元一次方程没讲 \begin{align*}
\text{推导：}\\
&\text{1.教科书方法：}\\
&x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&\text{所以}x_1+x_2=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}\\
&x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}\\
&\text{2.一个更巧妙的方法：}\\
&\text{方程}ax^2+bx+c=0\text{有两个实数根}x_1，x_2\\
&\text{变形得}a(x-x_1)(x-x_2)=0\\
&\text{展开并再次变形：}\\
&ax^2-a(x_1+x_2)+ax_1x_2=0\\
&\text{与原方程比较，得}\\
&x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\
&x_1x_2=\frac{c}{a}
\end{align*}
陶远航 发表于 2024-2-15 10:30
\begin{align*}
\text{推导：}\\
&\text{1.教科书方法：}\\
写这个Latex累死了，小甲鱼老师是怎么写Latex的？请教一下{:10_303:} 歌者文明清理员 发表于 2024-2-15 07:33
xxs努力理解中
信息量巨大：
哈哈哈，小甲鱼老师跟二师兄是一个作息时间~
{:10_256:} 陶远航 发表于 2024-2-15 10:32
写这个Latex累死了，小甲鱼老师是怎么写Latex的？请教一下
哈哈，写习惯就好了，看到式子脑子里自动浮现 Latex 公式~ 小甲鱼 发表于 2024-2-16 03:17
哈哈，写习惯就好了，看到式子脑子里自动浮现 Latex 公式~
看了您的证明，感觉教科书上的证明方法太 low 了。。。 正在学 {:10_277:} 伟大的定理=韦达定理
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