sympy讲解

TCY

sympy是一个Python的科学计算库，用一套强大的符号计算体系完成诸如多项式求值、求极限、解方程、求积分、微分方程、级数展开、矩阵运算等等计算问题。虽然Matlab的类似科学计算能力也很强大，但是Python以其语法简单、易上手、异常丰富的三方库生态，个人认为可以更优雅地解决日常遇到的各种计算问题。
如果你遇到了一个难题，不要犹豫，来找Python，它几乎不会让你失望的。

安装sympy库

1. pip install sympy

复制代码

常用的sympy内置符号
虚数单位i

1. In [13]: import sympy
   
2. 
   
3. In [14]: sympy.I
   
4. Out[14]: I
   
5. 
   
6. In [15]: sympy.I ** 2
   
7. Out[15]: -1
   
8. 
   
9. # 求-1的平方根
   
10. In [16]: sympy.sqrt(-1)
    
11. Out[16]: I

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注：本文后面的示例都省略导包语句：import sympy
自然对数的底e

1. In [18]: sympy.E
   
2. Out[18]: E
   
3. 
   
4. # 求对数
   
5. In [20]: sympy.log(sympy.E)
   
6. Out[20]: 1

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无穷大oo

1. In [26]: 1 / sympy.oo
   
2. Out[26]: 0
   
3. 
   
4. In [27]: 1 + sympy.oo
   
5. Out[27]: oo

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圆周率pi

1. In [60]: sympy.pi
   
2. Out[60]: pi
   
3. 
   
4. In [61]: sympy.sin(sympy.pi / 2)
   
5. Out[61]: 1

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用sympy进行初等运算
Python 2.x中用除号/做两个整数的除法，实际上是整除运算，为了防止这种情况的发生，避免不必要的麻烦，下文的所有示例一开始都加上一句：from __future__ import division，这个时候除号/本身就变成了真实除法，而//才是整除，比如：

1. # 导入division包之前
   
2. In [1]: 1/2
   
3. Out[1]: 0
   
4. 
   
5. In [2]: from __future__ import division
   
6. 
   
7. # 导入division包之后
   
8. In [3]: 1/2
   
9. Out[3]: 0.5
   
10. 
    
11. In [4]: 1//2
    
12. Out[4]: 0

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求对数

1. # 自然对数
   
2. In [10]: sympy.log(sympy.E)
   
3. Out[10]: 1
   
4. 
   
5. In [11]: sympy.log(sympy.E ** 3)
   
6. Out[11]: 3
   
7. 
   
8. # 以10为底1000的对数
   
9. In [12]: sympy.log(1000,10)
   
10. Out[12]: 3

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求平方根

1. In [13]: sympy.sqrt(4)
   
2. Out[13]: 2
   
3. 
   
4. In [14]: sympy.sqrt(-1)
   
5. Out[14]: I

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求n次方根

1. # 求8的3次方根
   
2. In [15]: sympy.root(8,3)
   
3. Out[15]: 2

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求k次方

1. In [21]: 2 ** 3
   
2. Out[21]: 8
   
3. 
   
4. In [22]: 16 ** (1 / 2)
   
5. Out[22]: 4.0

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求阶乘

1. In [35]:  sympy.factorial(4)
   
2. Out[35]: 24

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求三角函数
以sin函数为例：

1. In [86]: sympy.sin(sympy.pi)
   
2. Out[86]: 0
   
3. 
   
4. In [87]: sympy.sin(sympy.pi / 2)
   
5. Out[87]: 1

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表达式与表达式求值
sympy可以用一套符号系统来表示一个表达式，如函数、多项式等，并且可以进行求值，比如：

1. # 首先定义x为一个符号，表示一个变量
   
2. In [96]: x = sympy.Symbol('x')
   
3. 
   
4. In [97]: fx = 2 * x + 1
   
5. 
   
6. # 可以看到fx是一个sympy.core.add.Add类型的对象，也就是一个表达式
   
7. In [98]: type(fx)
   
8. Out[98]: sympy.core.add.Add
   
9. 
   
10. # 用evalf函数，传入变量的值，对表达式进行求值
    
11. In [101]: fx.evalf(subs = {x : 2})
    
12. Out[101]: 5.00000000000000

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还支持多元表达式：

1. In [102]: x,y = sympy.symbols('x y')
   
2. 
   
3. In [103]: f = 2 * x + y
   
4. 
   
5. # 以字典的形式传入多个变量的值
   
6. In [104]: f.evalf(subs = {x : 1, y : 2})
   
7. Out[104]: 4.00000000000000
   
8. 
   
9. # 如果只传入一个变量的值，则原本输出原来的表达式
   
10. In [105]: f.evalf(subs = {x : 1})
    
11. Out[105]: 2.0*x + y

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用sympy解方程（组）
使用sympy.solve函数解方程，该函数通常传入两个参数，第1个参数是方程的表达式（把方程所有的项移到等号的同一边形成的式子），第2个参数是方程中的未知数。函数的返回值是一个列表，代表方程的所有根（可能为复数根）。
解最简单的方程
比如下面我们来求两个方程：

1. # 首先定义‘x’为一个符号，代表一个未知数
   
2. In [24]: x = sympy.Symbol('x')
   
3. 
   
4. # 解方程：x - 1 = 0
   
5. In [25]: sympy.solve(x - 1, x)
   
6. Out[25]: [1]
   
7. 
   
8. # 解方程：x ^ 2 - 1 = 0
   
9. In [26]: sympy.solve(x ** 2 - 1, x)
   
10. Out[26]: [-1, 1]
    
11. 
    
12. # 解方程：x ^ 2 + 1 = 0
    
13. In [27]: sympy.solve(x ** 2 + 1, x)
    
14. Out[27]: [-I, I]

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把函数式赋给一个变量
有时候为了书写起来简洁，可以把一个函数式起个名字，比如：

1. In [30]: x = sympy.Symbol('x')
   
2. 
   
3. In [31]: f = x + 1
   
4. 
   
5. In [32]: sympy.solve(f, x)

复制代码

解方程组
比如要解这么个二元一次方程组：

代码如下：

1. # 一次性定义多个符号
   
2. In [28]: x,y = sympy.symbols('x y')
   
3. 
   
4. In [29]: sympy.solve([x + y - 1,x - y -3], [x, y])
   
5. Out[29]: {x: 2, y: -1}

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计算求和式
计算求和式可以使用sympy.summation函数，其函数原型为：sympy.summation(f, *symbols, **kwargs)。
话不多少，举个栗子，比如求下面这个求和式子的值：

我们用初中的知识可以知道，这个式子的结果为：5050 * 2 = 10100
下面用代码来求：

1. In [37]: n = sympy.Symbol('n')
   
2. 
   
3. In [38]: sympy.summation(2 * n, (n, 1, 100))
   
4. Out[38]: 10100

复制代码

可见结果是正确的。
如果sympy.summation函数无法计算出具体的结果，那么会返回求和表达式。

解带有求和式的方程
比如求这么一个方程：

代码如下：

1. In [43]: x = sympy.Symbol('x')
   
2. 
   
3. In [44]: i = sympy.Symbol('i', integer = True)
   
4. 
   
5. In [46]: f =  sympy.summation(x, (i, 1, 5)) + 10 * x - 15
   
6. 
   
7. In [47]: sympy.solve(f, x)
   
8. Out[47]: [1]

复制代码

求极限
求极限用sympy.limit函数，其函数文档如下：

1. Signature: sympy.limit(e, z, z0, dir='+')
   
2. Docstring:
   
3. Compute the limit of e(z) at the point z0.
   
4. 
   
5. z0 can be any expression, including oo and -oo.
   
6. 
   
7. For dir="+" (default) it calculates the limit from the right
   
8. (z->z0+) and for dir="-" the limit from the left (z->z0-).  For infinite
   
9. z0 (oo or -oo), the dir argument is determined from the direction
   
10. of the infinity (i.e., dir="-" for oo).

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函数文档中已经说得很清楚了，下面用代码示例来求几个极限。

如果学过微积分，就会知道微积分中有3个重要的极限：



下面就用sympy.limit函数来分别求这3个极限：

1. In [53]: x = sympy.Symbol('x')
   
2. 
   
3. In [54]: f1 = sympy.sin(x)/x
   
4. 
   
5. In [55]: sympy.limit(f1,x,0)
   
6. Out[55]: 1
   
7. 
   
8. In [56]: f2 = (1+x)**(1/x)
   
9. 
   
10. In [57]: sympy.limit(f2,x,0)
    
11. Out[57]: E
    
12. 
    
13. In [58]: f3 = (1+1/x)**x
    
14. 
    
15. In [59]: sympy.limit(f3,x,sympy.oo)
    
16. Out[59]: E

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可见三个极限的计算结果都完全正确。

求导
求导使用sympy.diff函数，传入2个参数：函数表达式和变量名，举例如下：

1. In [63]: x = sympy.Symbol('x')
   
2. 
   
3. In [64]: f = x ** 2 + 2 * x + 1
   
4. 
   
5. In [65]: sympy.diff(f, x)
   
6. Out[65]: 2*x + 2
   
7. 
   
8. In [66]: f2 = sympy.sin(x)
   
9. 
   
10. In [67]: sympy.diff(f2, x)
    
11. Out[67]: cos(x)
    
12. 
    
13. # 多元函数求偏导
    
14. In [68]: y = sympy.Symbol('y')
    
15. 
    
16. In [70]: f3 = x ** 2 + 2*x + y ** 3
    
17. 
    
18. In [71]: sympy.diff(f3, x)
    
19. Out[71]: 2*x + 2
    
20. 
    
21. In [72]: sympy.diff(f3, y)
    
22. Out[72]: 3 * y ** 2

复制代码

求定积分
使用sympy.integrate函数求定积分，其功能比较复杂，非常强大，下面仅仅举几个比较简单的例子。
先来求一个最简单的积分：

用牛顿-莱布尼兹公式可以立马口算出上面这个式子的结果是1，用代码计算如下：

1. In [74]: x = sympy.Symbol('x')
   
2. 
   
3. In [75]: f = 2 * x
   
4. 
   
5. # 传入函数表达式和积分变量、积分下限、上限
   
6. In [76]: sympy.integrate(f,(x,0,1))
   
7. Out[76]: 1

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下面来算一个复杂一点的多重积分：

其中：

我们通过口算可以求出f(x)：

所以：

下面用代码来计算上述过程：

1. In [82]: t,x = sympy.symbols('t x')
   
2. 
   
3. In [83]: f = 2 * t
   
4. 
   
5. In [84]: g = sympy.integrate(f,(t,0,x))
   
6. 
   
7. In [85]: sympy.integrate(g,(x,0,3))
   
8. Out[85]: 9

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求不定积分
同样也是使用sympy.integrate函数求不定积分，下面仅仅举几个比较简单的例子。
比如求下面这个不定积分：

通过观察我们知道它的结果是：

下面用代码来计算这个不定积分的结果：

1. In [79]: x = sympy.Symbol('x')
   
2. 
   
3. In [80]: f = sympy.E ** x + 2 * x
   
4. 
   
5. In [81]: sympy.integrate(f,x)
   
6. Out[81]: x**2 + exp(x)

复制代码

总结
从上面的一系列计算可以看出，sympy是个非常强大的科学计算库，本文所讲到的用法仅仅是它强大功能的冰山一角，还需以后在实际使用中进一步发掘。

作者：m2fox
链接：https://www.jianshu.com/p/339c91ae9f41
来源：简书
简书著作权归作者所有，任何形式的转载都请联系作者获得授权并注明出处。

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