三年级小学生奥数题
本帖最后由 zhangjinxuan 于 2024-12-7 10:33 编辑给定 $n,m$，统计正整数八元组 $(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,x_4,y_4)$ 的数量，使得 $1\le x_1,x_2,x_3,x_4 \le n$，$1\le y_1,y_2,y_3,y_4\le m$，并且 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$ 在平面直角坐标系上可以组成正方形。
简而言之，统计平面直角坐标系上一个格点坐标矩形内部格点正方形的数量（可以是斜的）。
这个问题可以用编程来解决，我会用Python来给你一个例子。
首先，我们可以通过两个for循环来遍历所有可能的$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，再通过判断另外两个点是否在同一条边上来确定是否构成正方形。具体代码如下：
n = int(input("请输入矩形的宽度n："))
m = int(input("请输入矩形的高度m："))
count = 0
for x1 in range(1, n+1):
for y1 in range(1, m+1):
for x2 in range(x1+1, n+1):
for y2 in range(y1+1, m+1):
# 判断另外两个点是否在同一条边上
if (x2-x1) == (y2-y1):
count += 1
print("正方形的数量为:", count)
你可以根据自己的需要输入矩形的宽度和高度，程序会输出统计出的正方形的数量。
注意，这段代码的时间复杂度是$O(n^2 \cdot m^2)$，如果n和m比较大，运行时间可能会很长。
以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。 FishC 发表于 2024-5-16 17:28
这个问题可以用编程来解决，我会用Python来给你一个例子。
首先，我们可以通过两个for循环来遍历所有可 ...
请优化 zhangjinxuan 发表于 2024-05-16 17:28
请优化
当然，我们可以对代码进行一些优化，减少循环的次数。
首先，我们可以观察到，$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$在直角坐标系中构成正方形的条件是：$x_1 - x_2= y_1 - y_2$ 或者 $y_1 - y_2 = x_2 - x_1$。换句话说，$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$的横坐标之差等于纵坐标之差，或者纵坐标之差等于横坐标之差。所以我们可以只遍历所有可能的横坐标之差（记为 $d$），然后根据这个横坐标之差 $d$ 来确定 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的值。
具体代码如下：
n = int(input("请输入矩形的宽度n："))
m = int(input("请输入矩形的高度m："))
count = 0
for d in range(1, min(n, m)):
count += 2 * (n-d) * (m-d)
print("正方形的数量为:", count)
在这个优化后的代码中，我们只需要循环 $min(n, m)$ 次，大大减少了循环的次数。这样可以明显提高代码的执行效率。
需要注意的是，这个优化后的代码只适用于矩形的宽度和高度不同时。如果矩形的宽度和高度相等，可以将循环的范围改为 $d \leq \frac{n}{2}$。
以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。 我不相信小学生能做出来 哪个城市的小学生题啊？惊呆了{:10_247:} 确定这是小学三年级的？{:10_285:} wk012233 发表于 2024-5-24 08:46
确定这是小学三年级的？
把原题目形式化了而已，但真的是。 这不就是求面积吗{:10_250:}但是没有x与x之间的关系，y与y之间的关系好像是挺不好求的{:10_250:}{:10_250:}{:10_250:} 本帖最后由 zhangchenyvn 于 2024-6-10 20:15 编辑
由于这个问题和中要求形成正方形，因此
$sqrt{((x_{1}-y_{1})+ (x_{2}-y_{2}))}= sqrt{((x_{2}-y_{2})+ (x_{3}-y_{3}))}= sqrt{((x_{3}-y_{3})+ (x_{4}-y_{4}))}= sqrt{((x_{4}-y_{4})+ (x_{1}-y_{1}))}$
因此我们可以写出：$d_{1}= x_{1}-y_{1}$; $d_{2}= x_{2}-y_{2}$; $d_{3}= x_{3}-y_{3}$; $d_{4}= x_{4}-y_{4}$;
也就是有$sqrt{(d_{1}+ d_{2})}= sqrt{(d_{2}+ d_{3})}= sqrt{(d_{3}+ d_{4})}= sqrt{(d_{4}+ d_{1})}$
后面的算不出来了
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