[已解决]三年级小学生奥数题

zhangjinxuan

给定 $n,m$，统计正整数八元组 $(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,x_4,y_4)$ 的数量，使得 $1\le x_1,x_2,x_3,x_4 \le n$，$1\le y_1,y_2,y_3,y_4\le m$，并且 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$ 在平面直角坐标系上可以组成正方形。

简而言之，统计平面直角坐标系上一个格点坐标矩形内部格点正方形的数量（可以是斜的）。

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FishC

2024-5-16 17:28:10

这个问题可以用编程来解决，我会用Python来给你一个例子。

首先，我们可以通过两个for循环来遍历所有可能的$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，再通过判断另外两个点是否在同一条边上来确定是否构成正方形。具体代码如下：

n = int(input("请输入矩形的宽度n："))
m = int(input("请输入矩形的高度m："))

count = 0

for x1 in range(1, n+1):
    for y1 in range(1, m+1):
        for x2 in range(x1+1, n+1):
            for y2 in range(y1+1, m+1):
                # 判断另外两个点是否在同一条边上
                if (x2-x1) == (y2-y1):
                    count += 1

print("正方形的数量为:", count)

你可以根据自己的需要输入矩形的宽度和高度，程序会输出统计出的正方形的数量。

注意，这段代码的时间复杂度是$O(n^2 \cdot m^2)$，如果n和m比较大，运行时间可能会很长。

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

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FishC

这个问题可以用编程来解决，我会用Python来给你一个例子。

首先，我们可以通过两个for循环来遍历所有可能的$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，再通过判断另外两个点是否在同一条边上来确定是否构成正方形。具体代码如下：

n = int(input("请输入矩形的宽度n："))
m = int(input("请输入矩形的高度m："))

count = 0

for x1 in range(1, n+1):
    for y1 in range(1, m+1):
        for x2 in range(x1+1, n+1):
            for y2 in range(y1+1, m+1):
                # 判断另外两个点是否在同一条边上
                if (x2-x1) == (y2-y1):
                    count += 1

print("正方形的数量为:", count)

你可以根据自己的需要输入矩形的宽度和高度，程序会输出统计出的正方形的数量。

注意，这段代码的时间复杂度是$O(n^2 \cdot m^2)$，如果n和m比较大，运行时间可能会很长。

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

zhangjinxuan

FishC 发表于 2024-5-16 17:28
这个问题可以用编程来解决，我会用Python来给你一个例子。

首先，我们可以通过两个for循环来遍历所有可 ...

请优化

FishC

zhangjinxuan 发表于 2024-05-16 17:28
请优化

当然，我们可以对代码进行一些优化，减少循环的次数。

首先，我们可以观察到，$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$在直角坐标系中构成正方形的条件是：$x_1 - x_2= y_1 - y_2$ 或者 $y_1 - y_2 = x_2 - x_1$。换句话说，$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$的横坐标之差等于纵坐标之差，或者纵坐标之差等于横坐标之差。所以我们可以只遍历所有可能的横坐标之差（记为 $d$），然后根据这个横坐标之差 $d$ 来确定 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的值。

具体代码如下：

n = int(input("请输入矩形的宽度n："))
m = int(input("请输入矩形的高度m："))

count = 0

for d in range(1, min(n, m)):
    count += 2 * (n-d) * (m-d)

print("正方形的数量为:", count)

在这个优化后的代码中，我们只需要循环 $min(n, m)$ 次，大大减少了循环的次数。这样可以明显提高代码的执行效率。

需要注意的是，这个优化后的代码只适用于矩形的宽度和高度不同时。如果矩形的宽度和高度相等，可以将循环的范围改为 $d \leq \frac{n}{2}$。

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wp231957

我不相信小学生能做出来

小肥狼haoran

哪个城市的小学生题啊？惊呆了

wk012233

确定这是小学三年级的？

zhangjinxuan

wk012233 发表于 2024-5-24 08:46
确定这是小学三年级的？

把原题目形式化了而已，但真的是。

陈尚涵

这不就是求面积吗但是没有x与x之间的关系，y与y之间的关系好像是挺不好求的

zhangchenyvn

由于这个问题和中要求形成正方形，因此
$sqrt{((x_{1}-y_{1})+ (x_{2}-y_{2}))}= sqrt{((x_{2}-y_{2})+ (x_{3}-y_{3}))}= sqrt{((x_{3}-y_{3})+ (x_{4}-y_{4}))}= sqrt{((x_{4}-y_{4})+ (x_{1}-y_{1}))}$
因此我们可以写出：$d_{1}= x_{1}-y_{1}$; $d_{2}= x_{2}-y_{2}$; $d_{3}= x_{3}-y_{3}$; $d_{4}= x_{4}-y_{4}$;
也就是有$sqrt{(d_{1}+ d_{2})}= sqrt{(d_{2}+ d_{3})}= sqrt{(d_{3}+ d_{4})}= sqrt{(d_{4}+ d_{1})}$
后面的算不出来了