题目180：三元函数的合理零
本帖最后由 欧拉计划 于 2016-9-15 01:56 编辑Rational zeros of a function of three variables
For any integer n, consider the three functions
f1,n(x,y,z) = xn+1 + yn+1 − zn+1
f2,n(x,y,z) = (xy + yz + zx)*(xn-1 + yn-1 − zn-1)
f3,n(x,y,z) = xyz*(xn-2 + yn-2 − zn-2)
and their combination
fn(x,y,z) = f1,n(x,y,z) + f2,n(x,y,z) − f3,n(x,y,z)
We call (x,y,z) a golden triple of order k if x, y, and z are all rational numbers of the form a / b with
0 < a < b ≤ k and there is (at least) one integer n, so that fn(x,y,z) = 0.
Let s(x,y,z) = x + y + z.
Let t = u / v be the sum of all distinct s(x,y,z) for all golden triples (x,y,z) of order 35.
All the s(x,y,z) and t must be in reduced form.
Find u + v.
题目：
对于任意整数 n，考虑三个函数：
f1，n(x,y,z) = xn+1 + yn+1 − zn+1
f2，n(x,y,z) = (xy + yz + zx)*(xn-1 + yn-1 − zn-1)
f3，n(x,y,z) = xyz*(xn-2 + yn-2 − zn-2)
以及它们的组合：
fn(x,y,z) = f1,n(x,y,z) + f2,n(x,y,z) − f3,n(x,y,z)
如果 x，y 和 z 都是形如 a/b 的有理数，满足 0 < a < b ≤ k，并且存在（至少一个）n 使得 fn(x,y,z) = 0，则称 (x,y,z) 为一个 k 阶黄金三元组。
令 s(x,y,z) = x + y + z。
令 t = u / v 为所有 35 阶黄金三元组 (x,y,z) 的不同的 s(x,y,z)之和。
求 u + v。
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