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为什么这样求数列的通项

已有 1060 次阅读2011-6-9 12:26

不至于把这个问题写得非常清楚,好处是也不会引入什么新名词和定义,都是高中生看得懂的语言。
我就不举 Fibonacci 数列了,换一个通项好看一点的。考虑求这个数列的通项公式:
A[n+2]=A[n+1]+2A[n]
A[0]=2, A[1]=1

当然我不是要说什么先猜后证归纳法,而是很多高中生都知道的特征方程的办法。没接触过的同学也不要担心,这不是什么高深的理论,只是和大家过去做题的思路有点不同罢了。

直接做是没有什么特别的想法的,依赖已知的这些条件,数列是唯一确定的。但如果我划去A[1]=1这个要求,应该就有无穷多个数列满足递推和A[0]=2了(你可以试想,现在A[1]随便你取了,取一个A[1],就对应一个数列);如果我再把A[0]=2这个条件也化掉,当然满足条件的数列就更多了。

只考虑满足 A[n+2]=A[n+1]+2A[n] 的数列,既然我们知道有无穷多个。是否可以找一个既简单,我们又熟悉的数列出来满足这个递推?

观察一下这个方程,就可以知道应该存在一个等比数列是满足的。
{1,q,q^2,q^3,…}
如果前三项满足这个方程的话,即有 q^2=q+2 的话,那后面的项也就自动满足了
q^3=q^2+2q
q^4=q^3+2q^2

因为它们只是第一个方程两边同乘以一些q 而已。

这个方程大家都会解,有两个实根q=2和q=-1,这样的话就是说,我们找到了两个等比数列,满足这个递推式,它们分别是
{1,2,4,8,16,…} 和 {1,-1,1,-1,1,…}

当然了,这两个数列都不满足那两个初值条件。实际要求的那个数列根本不是等比数列。
观察一下这个方程,就可以知道应该存在一个等比数列是满足的。
{1,q,q^2,q^3,…}
如果前三项满足这个方程的话,即有 q^2=q+2 的话,那后面的项也就自动满足了
q^3=q^2+2q
q^4=q^3+2q^2

因为它们只是第一个方程两边同乘以一些q 而已。

这个方程大家都会解,有两个实根q=2和q=-1,这样的话就是说,我们找到了两个等比数列,满足这个递推式,它们分别是
{1,2,4,8,16,…} 和 {1,-1,1,-1,1,…}

当然了,这两个数列都不满足那两个初值条件。实际要求的那个数列根本不是等比数列。

接下来的内容很重要,我们已经找到两个数列满足递推了,但是实际上是有无穷多个数列满足的,能不能再找一些数列出来?

比如 {3,6,12,24,48,…} 就一定满足递推式,
因为它就是 {1,2,4,8,16,…} 乘了一个倍数;

再看一下方程的结构:A[n+2]=A[n+1]+2A[n]

你会发现
如果A[n] 满足方程的话,那么kA[n] 也满足方程;
如果A[n]、B[n]都满足方程的话,那么A[n]+B[n] 也满足方程;

到这里差不多完了,用一点直觉,你就知道 kA[n]+sB[n] 一定也是满足方程的。

实际上所有满足方程的解一定能写成 kA[n]+sB[n]的,这件事我在这里不证明,其实也不需要,因为大家只是为了求通项,大家可以想一下,只要我们需要的那个解有可能写成这个形式就行了。

注意我们已经有现成的两个满足条件的数列了(注意你不能取那两个正好成比例的,这两个再怎么组合还是等比数列,而我们要求的那个数列显然不是等比数列),我们就用这两个数列和初始条件,就可以列两个方程,解出k和s

这样的话就得到了 kA[n]+sB[n],它是满足递推的,并且它的前两项是符合条件的。那么它就是我们要求的那个数列的通项。

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