[已解决]求助，使用python或者matlab都行，建立图中要求的震动微分方程

isdkz

根据图中所示，小车的运动可以用$x$表示，摆杆的运动可以用$\theta$表示。根据拉格朗日方程，系统的动能可以表示为：

$T = \frac{1}{2}m_1\dot{x}^2 + \frac{1}{2}m_2[(\dot{x}+l\dot{\theta}\cos\theta)^2 + (l\dot{\theta}\sin\theta)^2]$

系统的势能可以表示为：

$V = m_2gl(1-\cos\theta)$

因此，系统的拉格朗日量可以表示为：

$L = T - V = \frac{1}{2}m_1\dot{x}^2 + \frac{1}{2}m_2[(\dot{x}+l\dot{\theta}\cos\theta)^2 + (l\dot{\theta}\sin\theta)^2] - m_2gl(1-\cos\theta)$

根据拉格朗日方程，系统的运动微分方程可以表示为：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x} = F$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$

其中，$F$表示外力，本例中为小车上的水平力。

将拉格朗日量带入上述方程，可得到：

$(m_1+m_2)\ddot{x}+m_2l\ddot{\theta}\cos\theta-m_2l\dot{\theta}^2\sin\theta = F$

$m_2l\ddot{x}\cos\theta+m_2l^2\ddot{\theta}+(m_1+m_2)g\sin\theta = 0$

这就是系统的振动微分方程。

下面是使用Python解决该问题的代码：

1. import numpy as np
   
2. from scipy.integrate import odeint
   
3. import matplotlib.pyplot as plt
   
4. 
   
5. # 定义系统参数
   
6. m1 = 1.0
   
7. m2 = 2.0
   
8. l = 1.0
   
9. g = 9.8
   
10. F = 1.0
    
11. 
    
12. # 定义系统微分方程
    
13. def deriv(y, t):
    
14.     x, x_dot, theta, theta_dot = y
    
15.     c = np.cos(theta)
    
16.     s = np.sin(theta)
    
17.     x_ddot = (F + m2*l*theta_dot**2*s - m2*g*c*s) / (m1 + m2 - m2*c**2)
    
18.     theta_ddot = (-F*c - m2*l*theta_dot**2*c*s + (m1+m2)*g*s) / (l*(m1+m2-m2*c**2))
    
19.     return [x_dot, x_ddot, theta_dot, theta_ddot]
    
20. 
    
21. # 定义初始状态
    
22. y0 = [0.0, 0.0, np.pi/4, 0.0]
    
23. 
    
24. # 定义时间范围
    
25. t = np.linspace(0, 10, 1000)
    
26. 
    
27. # 解决微分方程
    
28. sol = odeint(deriv, y0, t)
    
29. 
    
30. # 绘制图形
    
31. plt.figure(figsize=(10,6))
    
32. plt.plot(t, sol[:,0], label='x')
    
33. plt.plot(t, l*np.sin(sol[:,2]), label='theta')
    
34. plt.legend()
    
35. plt.xlabel('Time (s)')
    
36. plt.ylabel('Displacement (m)')
    
37. plt.title('System Response')
    
38. plt.grid()
    
39. plt.show()
    

复制代码

该代码将输出小车和摆杆随时间变化的位移、速度和加速度图形。