对于矩阵有类似拓展欧拉定理的东西吗

zhangjinxuan

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} ^{x}$，矩阵每个数字对 $p$ 取模（$p$ 是质数），这里有没有类似于拓展欧拉定理的东西？比如直接让 $x=x\bmod (p-1)$。

zhangjinxuan

FishC 发表于 2024-11-13 09:22
是的，矩阵也有类似于扩展欧拉定理的概念。对于整数的模运算，扩展欧拉定理主要用于计算 $a^x \mod p$，其 ...

可以给出代码实现吗，假定我需要计算的是 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} ^{x}$，其中模数指数以及矩阵里面的 $a$ 都在输入中。

zhangjinxuan

FishC 发表于 2024-11-13 09:27
好的，我可以帮你编写一个 Python 程序来计算给定矩阵的幂，并对结果取模。我们将利用 NumPy 库来处理 ...

可以使用上文所说的特征多项式等来降低幂次吗，就像欧拉定理那样。

如果这个问题无法解答，可以给出无法解答的原因吗。

zhangjinxuan

FishC 发表于 2024-11-13 09:31
利用特征多项式来减少矩阵幂的计算量的确是一种有效的方法。然而，对于一般的矩阵 A，找到一个具体的简 ...

但是指数很大，以至于有 $10^{114514}$ 的级别，不过我想要计算的矩阵就是 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} ^{x}$，对于这个东西有好的做法吗，可以给出必要的代码实现吗

zhangjinxuan

FishC 发表于 2024-11-13 09:33
对于这样的特定矩阵，确实可以通过分析矩阵的结构来寻找计算优化的方法。由于这个矩阵具有特殊的形状， ...

您的代码里面似乎并没有降幂（

zhangjinxuan

FishC 发表于 2024-11-13 09:39
抱歉，您说得对，我之前的解释没有体现特征多项式直接降幂。我重新分析下这个特定矩阵并给出相应的优化 ...

可是不对啊，这个问题真的可以解决吗？