棋盘覆盖问题（用分治法求解）

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什么是棋盘覆盖问题？
答：在一个(2^k) × (2^k) 个 方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中出现的位置有4^k情形，因而有4^k种不同的棋盘。图a所示是k=2时16种棋盘中的一个。棋盘覆盖问题要求用图b所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊棋盘方格以外的所有方格，且任何两个L型骨牌不得重叠覆盖。

                          

                               
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分析方法：
分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格(这句话很重要)，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。先把原始棋盘划分成4个相等的棋盘，由于棋盘只有一个特殊棋盘，所以这4个子棋盘中只有一个子棋盘包含该特殊棋盘，以便采用递归的方法求解，可以用1一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的汇合处（要理解这句话），如图(c)所示。从而将原问题转换为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1*1的子棋盘。

                               
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数据结构设计：
（1）棋盘：可以一个二维数组board[size][size]表示一个棋盘，其中，size = 2^k。为了在递归处理的过程中使用同一个棋盘，将数组board设置为全局变量。
（2）子棋盘：子棋盘由原始棋盘数组board的行下标tr，列下标tc表示。
（3）特殊方格：用board[dr][dc]表示特殊方格，dr和dc表示该特殊方格的在二维数组board中的下标
（4）L型骨牌：一个（2^k）*（2^k）的棋盘中有一个特殊方格，所以用到L型骨牌的个数为（4^k - 1）/3，将所有L型骨牌从1开始连续编号，同一个骨牌有3个方格组成，这3个方格用同一个编号。


代码如下：

// 棋盘覆盖
#include<iostream.h>
#include <iomanip.h>

int Board[8][8]={0};//定义棋盘并初始化棋盘
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size,int &tile);

void main()
{
int tile=0;
cout<<"请输入特殊盘的下标号:"<<endl;
int x,y;
cin>>x>>y;
ChessBoard(0,0,x,y,8,tile);
cout<<endl<<endl;
for(int i=0;i<8;i++)
{
    for(int j=0;j<8;j++)
    {
        cout<<setw(2)<<Board[i][j]<<" ";
    }
    cout<<endl;
}

}

void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size,int &tile)
{//采用分治策略的棋盘算法 c是列，r是行
if(size==1)
return;

++tile;//L型骨牌号
int s=size/2;//分割棋盘

if(dr<tr+s&&dc<tc+s)
{//特殊方格在左上角棋盘中
Board[tr+s-1][tc+s]=tile;//覆盖右上角子棋盘的左下角
Board[tr+s][tc+s-1]=tile;//覆盖左下角子棋盘的右上角
Board[tr+s][tc+s]=tile;//覆盖右下角子棋盘 的左上角

ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s,tile);//覆盖左上角子棋盘
ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s,tile);//覆盖右上角子棋盘
ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s,tile);//覆盖左下角子棋盘
ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s,tile);//覆盖右下角子棋盘
}
else if(dr<tr+s&&dc>=tc+s)
{//特殊方格在右上角棋盘中
Board[tr+s-1][tc+s-1]=tile;
Board[tr+s][tc+s-1]=tile;
Board[tr+s][tc+s]=tile;

ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s,tile);//覆盖左上角子棋盘
ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s,tile);//覆盖右上角子棋盘
ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s,tile);//覆盖左下角子棋盘
ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s,tile);//覆盖右下角子棋盘
}
else if(dr>=tr+s&&dc<tc+s)
{//特殊方格在左下角棋盘中
Board[tr+s-1][tc+s-1]=tile;
Board[tr+s-1][tc+s]=tile;
Board[tr+s][tc+s]=tile;

ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s,tile);//覆盖左上角子棋盘
ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s,tile);//覆盖右上角子棋盘
ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s,tile);//覆盖左下角子棋盘
ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s,tile);//覆盖右下角子棋盘
}
else if(dr>=tr+s&&dc>=tc+s)
{//特殊方格在右下角棋盘中
Board[tr+s-1][tc+s-1]=tile;
Board[tr+s-1][tc+s]=tile;
Board[tr+s][tc+s-1]=tile;


ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s,tile);//覆盖左上角子棋盘
ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s,tile);//覆盖右上角子棋盘
ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s,tile);//覆盖左下角子棋盘
ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s,tile);//覆盖右下角子棋盘
}
else
cout<<"你妹，错了!"<<endl;


}

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