C++ 二叉树

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二叉树

为什么要使用二叉树

二叉树的结构是树中最简单，而且是规律性最强的结构；

可以证明，所有树都能转化为唯一对应的二叉树，不失一般性。

二叉树的基本特征

• 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于 2 的结点）
• 左子树和右子树的次序不能颠倒（有序树）
  

二叉树的基本形态

• 有左有右
  
• 有左无右
  
• 有右无左
  
• 单根
  
• 空树
  

二叉树的基本性质

• 在二叉树的第 i 层上至多有 2^i-1个节点（i > 0）
• 深度为 k 的二叉树至多有 2^k-1 个结点（k > 0）
• 对于任何一棵二叉树，若度为 2 的结点数有 n₂ 个，叶子结点数为 n₀ 个，则 n₀ = n₂ + 1
  

满二叉树与完全二叉树

满二叉树：深度为 k 且有 2^k-1 个结点的二叉树。

特点：每一层上的结点数都是最大结点数，可以对满二叉树的结点进行连续编号。如图：



完全二叉树：深度为 k，有 n 个结点的二叉树。当且仅当其每一个结点都与深度为 k 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时，称之为完全二叉树。如图：



特点：

• 叶子结点只可能在层次最大的两层出现
• 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次数为 h，则其左分支下的子孙的最大层次数必为 h 或 h + 1
  

满二叉树和完全二叉树是二叉树的特例。

满二叉树一定是完全二叉树。