汇编编写无溢出除法的子程序

jhanker

一、为什么除法会溢出
看到这个标题，你可能会问汇编中不是有div指令来实现除法运算吗？为什么我们还要自己写一个子程序来实现除法？为了说明我们为什么需要自己写一个实现除法的子程序，还得从除法为什么会发生溢出说起。

在汇编中，如果要使用除法运算，我们可以使用div指令，它实现的就是除法的功能，但是它是一个非常容易，甚至说不可避免会发生溢出的指令，下面来看看它的工作方式，我们就能知道个中源由。注：这里所说的除法溢出并不是指分母为0而发生溢出的情况。

div的工作方式：
（1）除数：有8位和16位两种，在一个寄存器或内存单元中
（2）被除数：默认放在AX或DX和AX中，如果除数为8位，则被除数为16位，默认在AX中存放；如果除数为16位，被除数为32位，在DX和AX中存放，DX存放高16位，AX存放低16位
（3）结果：如果除数为8位，则AL（AX的低8位）存储除法操作的商，AH（AX的高8位）存储除法操作的余数；如果除数为16们，则AX存储除法操作的商，DX存放除法操作的余数。
用一个表格来表示上述的工作方式，如下表所示：
除数                          被除数                                                                 结果
8位               16位，AX                                                                 商：AL，余数：AH
16位               32位，DX（高16位）+AX（低16位）                           商：AX，余数：DX

就这么一看似乎还没有什么问题，下面我就以一个例子来说明一下种工作方式下的除法的致命缺陷。

为了更加容易地说明，我们以除数为8位的情况来说明，假设我们的被除数为65535（16位的最大值）存储在AX中，除数为1，存储在CL中，然后执行除法指令： div CL。根据上面的说法，结果都是放在AX中的，余数为0，当然这没有问题，然而商为65535要放在AL中却是放不下的，因为AL能存放的最大值只为255，所以此时就会发生溢出。我们可以看到65535/1 = 255，这显然与我位正常的除法结果不符。

在这里你可以认为我举了一个非常极端的例子，但是这种情况却并不是极端的情况，对于除数为8位的除法，只要商在255以上就会发生这种溢出。除数为16位的原理及情况与这里相同，只是它是当商为65535以上是就会发生溢出而已。

二、如何解决这个溢出问题
既然我们知道了问题的根源，要解决它就不困难了。为了统一而且不发生溢出，我们可以把所有的除法的商都用32位来保存，即所有的被除数都用32位，所有的除数都用16位，所有的商都用32位，所有的余数都用16位来保存，就可以解决这个问题，因为一个数除以一个整数后，不可能大于其之前的值。而对于8位的除法，除数和被除数的高位全用0补全即可。为了达到这个目的，我们就不能使用默认的除法指令div了，而需要我们写代码来实现我们自定义的除法。

考虑到除法是一个常用的操作，所以我们可以编写一个子程序来实现除法，在进行除法运算时，直接调用我们自己定义的子程序来完成任务，而不直接使用div指令。

三、如何实现这个功能
要实现除法还得使用div指令，只是我们可以做一些特殊的处理，让我们自定义的除法不发生溢出，因为我们使用的是除数为16位的除法，也就是说，我们只要能保证除法的商不大于65535就不会发生问题。为了实现这个功能，我们首先要知道一个关于除法的公式（H表示X的高位，L表示X的低位）：
X/N = int(H/N)* 2^16 + [rem(H/N)* 2^16+L]/N

这个公式告诉我们32位的被除数与16位的除数，可以拆分为两个除数和被除数都为16位的数的除法，然后通过加法来得到同样的结果，这个是非常重要的。因为我们可以把H和L独立起来考虑，当进行H/N时，因为H存储在DX中，我们可以先把DX中的内容复制到AX中（操作之前把AX的内容保存好），再把DX的内容置为0，这样产生的除法操作的商就一定能放在一个16位的寄存器AX中。对于公式中的其他除法运算也采用相同的操作，然后通过把除法之前产生的结果进行相加，就能产生我们的无溢出除法子程序。

四、实现代码
基于这个公式，我们实现的代码如下：
1.        ;子程序名称：divdw  
2.        ;功能：进行不会产生溢出的除法运算，被除数为dword型  
3.        ;      除数为word型，结果为dword型  
4.        ;参数：    (ax)=dword型数据的低16位  
5.        ;       (dx)=dword型数据的高16位  
6.        ;       (cx)=除数  
7.        ;返回：    (dx)=结果的高16位，(ax)=结果的低16位  
8.        ;       (cx)=余数  
9.        ;计算公式：X/N=int(H/N)*2^16+[rem(H/N)*2^16+L]/N  
10.        divdw:  
11.            jcxz divdw_return   ;除数cx为0，直接返回  
12.            push bx         ;作为一个临时存储器使用，先保存bx的值  
13.                  
14.            push ax         ;保存低位  
15.            mov ax, dx      ;把高位放在低位中  
16.            mov dx, 0       ;把高位置0  
17.            div cx          ;执行H/N，高位相除的余数保存在dx中  
18.            mov bx, ax      ;把商保存在bx寄存器中  
19.            pop ax          ;执行rem(H/N)*2^16+L  
20.            div cx          ;执行[rem(H/N)*2^16+L]/N，商保存在ax中  
21.            mov cx, dx      ;用cx寄存器保存余数  
22.            mov dx, bx      ;把bx的值复制到dx，即执行int(H/N)*2^16  
23.                                ;由于[rem(H/N)*2^16+L]/N已保存于ax中，  
24.                                ;即同时完成+运算  
25.            pop bx          ;恢复bx的值  
26.            divdw_return:  
27.            ret  

五、程序分析
1、
为了消除分母为0的情况，我们在子程序的一开始处就判断分母CX的值，若其值为0，则直接返回。

2、在分析时一定要记住，div把DX当作高16位来看，把AX当作低16来看，我们的子程序的调用者也是如此。所以当程序解释DX的值时，其值为真实值乘以2^16，例如DX中的值为1，AX中的值也为1，则因为DX为高16位，所以被解释为1*2^16 = 65536，则AX作为低16位来处理，其值为1。所以32位的数的值为65536+1 = 65537，也就是说32位数的值为DX*2^16+AX。

  push ax ;保存低位
  mov ax, dx ;把高位放在低位中
  mov dx, 0 ;把高位置0
  div cx ;执行H/N，高位相除的余数保存在dx中
就是前面所说的把把H和L独立起来考虑，当H/N时，先把DX中的内容（即H）复制到AX中，再把DX的内容置为0，然后再与CX相除。

3、
  pop ax ;执行rem(H/N)*2^16+L
  div cx ;执行[rem(H/N)*2^16+L]/N，商保存在ax中
因为前面的除法操作即H/N的余数保存在DX中，又由于在除法操作div时，DX是当高位来处理的，所以在DX中的余数的值就会相当于其原来的值乘以2^16，然后再把之前保存在栈中的X的低位L恢复到ax中来，div指令把AX当作低16位来处理，所以也就相当于DX*2^16+AX，也就是rem(H/N)*2^16+L，之后的除法就不用解释了。

4、
  mov cx, dx ;用cx寄存器保存余数
把前面div操作中产生的余数（保存在dx中）复制到cx中来，因为根据函数的说明，我们是用cx来保存余数的，而不是默认的dx。

5、
  mov dx, bx
由于bx先前保存着H/N的商，而DX又是高16位，所以把bx的值恢复到dx中就相当于int(H/N)*2^16，由于AX是低16位，而之前的操作又已经把结果（即[rem(H/N)*2^16+L]/N的商）保存在AX中，所以这步结束后，也就相当于执行完int(H/N)*2^16+[rem(H/N)*2^16+L]/N的整个操作完成了。

可以看到，这段看来小小的代码就这样有非常巧妙的方式，利用了div指令的特性，把DX看作高16位和把AX看作低16位和余数保存在DX中，商保存在AX中的特性，从而实现了我们的无溢出除法的功能了。

routty

王爽教程里的例子吧，老兄