证明三角形三条中线交于一点

yinda_peng

首先是初中就学过了的几何方法：


三角形ABC，并分别作边AC的中线BE与边AB的中线CD，两条中线相交于一点O

连接并延长AO，使其和边BC相交于一点F，只要证明F为BC的中点，便可证明三角形的三条中线相交于一点

过点B作CD的平行线，并于AF的延长线交于一点G，连接CG

在三角形ABG中，因为BG//DC，所以BG//DO，又因为D为AB的中点，所以DO是三角形ABG的中位线，所以AO=GO
而在三角形AGC中，因为O为AG的中点，E为AC的中点，所以OE是三角形AGC的中位线，所以OE//GC，也即是BE//GC
最后对于四边形BOCG，因为BO//GC，BG//OC，所以四边形BOCG为平行四边形，所以F为BC的中点，所以AF为三角形ABC的中线，三条中线交于一点，得证

再者是从Euclid空间的角度来思考：
在证明之前我们需要一个定理：Cantor闭区域套定理https://blog.csdn.net/hedan2013/article/details/100390500
很神奇这个定理居然没有百度百科那样的较为官方化的定理阐述
Cantor闭区域套定理：设{S_k}是Rⁿ上的非空闭集序列，满足S₁包含S₂包含S₃...包含S_k包含S_k+1...，以及lim_k->无穷diam S_k=0，则存在惟一点属于S_k的交集（k从1到无穷）
这里diam S = sup{ |x - y| | x,y 属于 S}
那么下面开始证明

显然三角形ABC是闭集，显然ABC的三条中线AA₁,BB₁,CC₁包含在三角形ABC中，因此它们两两的交点也包含在ABC中，且三角形A₁B₁C₁包含于ABC
注意三条中线AA₁，BB₁，CC₁上各有一段A₁A₂，B₁B₂和C₁C₂成为三角形A₁B₁C₁的三条中线，所以ABC的三条中线的两两交点也就是A₁B₁C₁的三条中线的两两交点，且交点也包含在A₁B₁C₁中，同时又有：
三角形A₂B₂C₂包含于三角形A₁B₁C₁
如此下去，得到三角形组成的闭集序列：ABC包含A₁B₁C₁包含A₂B₂C₂包含……
显然它们满足lim_{k -> 无穷}diam A_kB_kC_k = 0
因此存在惟一的公共点O属于所有的这些三角形。因为三角形ABC三条中线的两两交点始终包含在每一个三角形内，所以三条中线必定交于一点，而O点就是它们的交点。

歌者文明清理员

小学四年级数学课上学的，分锐角、直角、钝角，证明了这一点
@一点沙

yinda_peng

歌者文明清理员 发表于 2023-6-1 17:42
小学四年级数学课上学的，分锐角、直角、钝角，证明了这一点
@一点沙

分锐角，直角和钝角，还有这种方法吗？我小学似乎没讲过
初中的是几何的思想
后面的方法是Euclid空间的思想

yinda_peng

歌者文明清理员 发表于 2023-6-1 17:42
小学四年级数学课上学的，分锐角、直角、钝角，证明了这一点
@一点沙

虽然用Euclid空间思想来解决这个问题显得有点大材小用，不过能够和以前的知识联系起来是一个不错的体验

yinda_peng

@夏季的春秋

夏季的春秋

nb，这是哪门课程里的思想

yinda_peng

夏季的春秋 发表于 2023-6-1 23:05
nb，这是哪门课程里的思想

数学分析的