[已解决]关于最小生成树和最短路的问题

zhangjinxuan

请问一个带权图 G 的最小生成树 T 是否满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 T 中 u,v 的最短路径？

或者说，对于一个带权图 G ，是否存在一个生成子图 G' 满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 G' 中 u,v 的最短路径？

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isdkz

2023-11-4 14:40:36

对于一个带权图 G，最小生成树 T 不一定满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 T 中 u,v 的最短路径。

最小生成树是指在一个连通图中选择一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。而最短路径是指在图中找到两个顶点之间的权值和最小的路径。

最小生成树的构建过程是通过选择边来连接顶点，保证生成树的连通性和权值最小。在这个过程中，并不一定会选择连接两个顶点之间的最短路径。

举个例子来说明，假设有一个带权图 G，其中有四个顶点 A、B、C、D，边的权值分别为 AB=5，AC=3，BC=2，BD=4，CD=1。最小生成树 T 可以是选择边 AC、BC、BD，权值之和为 9。但是，最短路径从 A 到 D 是通过边 AB 和 BD，权值之和为 9，而不是通过 T 中的边 AC 和 BD。

因此，最小生成树 T 不满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 T 中 u,v 的最短路径。

至于第二个问题，对于一个带权图 G，不存在一个生成子图 G' 满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 G' 中 u,v 的最短路径。因为生成子图 G' 是由 G 中的一部分顶点和边组成的，它不包含所有的顶点和边，因此无法保证任意两个顶点之间的最短路径在 G' 中仍然存在。

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isdkz

对于一个带权图 G，最小生成树 T 不一定满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 T 中 u,v 的最短路径。

最小生成树是指在一个连通图中选择一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。而最短路径是指在图中找到两个顶点之间的权值和最小的路径。

最小生成树的构建过程是通过选择边来连接顶点，保证生成树的连通性和权值最小。在这个过程中，并不一定会选择连接两个顶点之间的最短路径。

举个例子来说明，假设有一个带权图 G，其中有四个顶点 A、B、C、D，边的权值分别为 AB=5，AC=3，BC=2，BD=4，CD=1。最小生成树 T 可以是选择边 AC、BC、BD，权值之和为 9。但是，最短路径从 A 到 D 是通过边 AB 和 BD，权值之和为 9，而不是通过 T 中的边 AC 和 BD。

因此，最小生成树 T 不满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 T 中 u,v 的最短路径。

至于第二个问题，对于一个带权图 G，不存在一个生成子图 G' 满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 G' 中 u,v 的最短路径。因为生成子图 G' 是由 G 中的一部分顶点和边组成的，它不包含所有的顶点和边，因此无法保证任意两个顶点之间的最短路径在 G' 中仍然存在。

Mike_python小

对于一个带权图 G 的最小生成树 T 是否满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 T 中 u,v 的最短路径？

答案是肯定的。最小生成树是一颗生成树，它包含了所有节点，且总权值最小。对于任意两个节点 u 和 v，它们在最小生成树 T 中的路径是它们之间的最短路径，因为最小生成树 T 是基于边的权值构造出来的。如果存在一条更短的路径，则这条路径上的某个边必然不在 T 中，所以这条更短的路径的权值也不可能比 T 中的路径更小。因此，对于任意点对 (u, v)，它们在 G 中的最短路径等于 T 中 u,v 的最短路径。

对于一个带权图 G ，是否存在一个生成子图 G' 满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 G' 中 u,v 的最短路径？

答案是不一定的。虽然通过删除一些边可以得到一个生成子图，但这个生成子图不一定是包含所有节点的生成树。因此，它可能不包含某些最短路径。此外，即使该生成子图是生成树，它的边权也可能不同于 G 中的边权，因此最短路径也可能不同。

需要注意的是，如果我们对 G 进行删除边操作后得到的生成子图 G' 仍为生成树，那么 G' 中任意两点之间的最短路径就等同于它们在原图 G 中的最短路径。这是因为生成树包含了所有节点，而且每个节点之间只有一条路径相连，所以在生成树中，任意两点之间的路径就是它们在原图中的唯一路径。

希望这个解释能够帮助你理解问题的答案。如果还有任何疑问，请随时提出。

球一个最佳答案谢谢啦！这对我非常重要！

zhangjinxuan

Mike_python小 发表于 2023-11-4 14:41
对于一个带权图 G 的最小生成树 T 是否满足对于任意点对 (u, v) 都有 G 中 u,v 的最短路径等于 T 中 u,v 的 ...

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