[已解决]莫队分块的意义是什么？如何证明时间复杂度正确？

zhangjinxuan

为什么要对左右端点分块呢？为什么不分块不行？

时间复杂度，能不能简单证明一下？

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FishC

2023-12-9 08:46:55

莫队算法的目的是通过将查询操作离线化来降低时间复杂度。它通过将原本的连续查询转化为离散查询，利用块间的预处理，减少了一部分重复计算和不必要的操作。

证明莫队算法的时间复杂度可以简单地分为两个部分：

1. 对查询进行排序：
   查询按照左端点所属块的编号升序排列，如果左端点所属块相同，则按右端点升序排列。这样做的目的是为了使得查询在遍历过程中尽可能地连续，并且右端点也递增，以减少每个块内部的操作次数。

2. 处理查询：
   遍历排序后的查询，对于当前查询 (l, r)，首先将区间 [L, R] 更新到 [l, r]，然后更新答案。这里的更新指的是将 [L, R] 中的元素加入或移出当前查询的区间，并调整答案。因为查询是有序的，每次只需要对 L 和 R 进行常数次操作，所以总体时间复杂度为 O(N * sqrt(N))。

为什么要对左右端点分块呢？
如果不对左右端点进行分块，而是直接对整个查询进行排序，那么每个查询的时间复杂度就会达到 O(N)，总的时间复杂度就会变成 O(M * N)，其中 M 是查询的数量。而莫队算法通过分块，将查询的时间复杂度降低到了 O(sqrt(N))，使得整体算法更高效。

希望这个解释对你有帮助！如果还有其他问题，欢迎提出。

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

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莫队算法的目的是通过将查询操作离线化来降低时间复杂度。它通过将原本的连续查询转化为离散查询，利用块间的预处理，减少了一部分重复计算和不必要的操作。

证明莫队算法的时间复杂度可以简单地分为两个部分：

1. 对查询进行排序：
   查询按照左端点所属块的编号升序排列，如果左端点所属块相同，则按右端点升序排列。这样做的目的是为了使得查询在遍历过程中尽可能地连续，并且右端点也递增，以减少每个块内部的操作次数。

2. 处理查询：
   遍历排序后的查询，对于当前查询 (l, r)，首先将区间 [L, R] 更新到 [l, r]，然后更新答案。这里的更新指的是将 [L, R] 中的元素加入或移出当前查询的区间，并调整答案。因为查询是有序的，每次只需要对 L 和 R 进行常数次操作，所以总体时间复杂度为 O(N * sqrt(N))。

为什么要对左右端点分块呢？
如果不对左右端点进行分块，而是直接对整个查询进行排序，那么每个查询的时间复杂度就会达到 O(N)，总的时间复杂度就会变成 O(M * N)，其中 M 是查询的数量。而莫队算法通过分块，将查询的时间复杂度降低到了 O(sqrt(N))，使得整体算法更高效。

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