[已解决]数位DP是不是大多都能用记忆化搜索求解

zhangjinxuan

如题，我太笨了，一道 DP 题只能用记忆化搜索做，最近在学数位 DP，想问一下数位 DP 的题大多是不是都能用记忆化搜索求解？如果不是，举出反例。

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sfqxx

2023-12-30 14:53:20

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FishC

数位 DP 和记忆化搜索都是动态规划的一种应用方法，它们在解决问题时的思路有些不同。

记忆化搜索是一种自顶向下的递归方式，通过将已计算的结果保存起来，避免重复计算。在使用记忆化搜索时，我们通常定义一个数组（或者哈希表）来记录已经计算过的状态，以便之后使用。

而数位 DP 是一种自底向上的迭代方式，它是基于问题的数位特性进行推导和求解。数位 DP 主要用于解决与数字的数位相关的问题，例如计算某个范围内满足特定条件的数字的个数。

回答您的问题，不是所有的数位 DP 的题目都能用记忆化搜索求解。因为数位 DP 通常需要考虑数位间的关系，利用数位特性进行状态转移，而记忆化搜索更适用于具有重叠子问题的情况。

举个简单的例子来说明。假设我们要计算一个数字n中包含几个特定的数字m，其中n和m都是正整数。我们可以使用数位 DP 来解决这个问题，但它不适合用记忆化搜索。因为如果我们用记忆化搜索去计算，我们需要定义一个三维数组dp[n][m][k]来表示状态，其中k表示当前处理到的数位。但是这样的状态转移方程非常复杂且不易实现。

相反，我们可以使用数位 DP 的思路来解决这个问题。对于每一位上的数字，我们可以确定它与目标数字m是否相等，然后分别考虑下一位数字与m的关系。通过迭代地计算每一位上满足条件的数字数量，并将结果累加起来，我们就可以得到最终的答案。

所以，在解决数位相关的问题时，数位 DP 是一个更优雅和高效的方法。记忆化搜索则更适用于具有重叠子问题的情况。希望这个例子能够解答您的疑问。如果您还有其他问题，请随时提问！

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zhangjinxuan

FishC 发表于 2023-12-27 17:26
数位 DP 和记忆化搜索都是动态规划的一种应用方法，它们在解决问题时的思路有些不同。

记忆化搜索是一种自 ...

在你举出的问题示例中，"一个数字n中包含几个特定的数字m" 是什么意思

FishC

zhangjinxuan 发表于 2023-12-27 17:28
在你举出的问题示例中，"一个数字n中包含几个特定的数 ...

非常抱歉，我给出的问题示例可能不够清晰。让我来解释一下。

"一个数字n中包含几个特定的数字m" 的意思是，在给定的正整数n中，我们要计算数字m出现的次数。例如，假设n=1234567890，我们要计算数字7在这个数中出现的次数。这个问题可以用数位 DP 来解决。

希望这样解释能够更好地理解问题的意思。如果您还有其他疑问，请随时提问！

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zhangjinxuan

FishC 发表于 2023-12-27 17:28
非常抱歉，我给出的问题示例可能不够清晰。让我来解释一下。

"一个数字n中包含几个特定的数字m" 的意思 ...

那你举的例子 m 可能是两位数吗，例如 n = 12323, m = 23，答案是多少

FishC

zhangjinxuan 发表于 2023-12-27 17:29
那你举的例子 m 可能是两位数吗，例如 n = 12323, m = ...

非常抱歉，我举的例子可能不够准确。在我给出的例子中，我没有考虑到m可以是多位数的情况。对于您提供的例子n = 12323，m = 23，我们需要计算数字23在数字12323中出现的次数。在这种情况下，数位 DP 可能并不是最适合的方法。我们可以使用其他的解决方案来解决这个问题。一种简单的方法是将n转换成字符串，并使用字符串匹配的方法来统计子串m在n中出现的次数。例如，在Python中，可以使用count()方法来统计子串出现的次数：

n = 12323m = "23"count = str(n).count(m)print(count)  # 输出结果为1

请注意，这种方法只适用于m是一个字符串的情况。如果m是一个整数的话，我们可以将其转换为字符串再进行匹配。希望这个解决方案能够满足您的需求，如果您还有其他问题，请随时提问！

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zhangjinxuan

FishC 发表于 2023-12-27 17:30
非常抱歉，我举的例子可能不够准确。在我给出的例子中，我没有考虑到m可以是多位数的情况。对于您提供的 ...

这不就 KMP 吗，和数位 DP 什么关系

FishC

zhangjinxuan 发表于 2023-12-27 17:32
这不就 KMP 吗，和数位 DP 什么关系

非常抱歉回答不清楚。对于您提供的例子n = 12323，m = 23，我们计算数字23在数字12323中出现的次数，确实可以使用KMP算法来解决。KMP算法主要用于字符串匹配问题，而不是数位DP的应用。

数位DP主要用于求解与数字的数位相关的问题，例如计算某个范围内满足特定条件的数字的个数，或者计算一个数字中某个数位上满足特定条件的数字个数等等。数位DP的思想是基于数字的数位特性进行推导和求解，通常是自底向上的迭代方式。

对于您提供的例子，如果我们想要求解数字n中包含数字m的个数，可以使用循环遍历的方法来实现，而不是数位DP或KMP算法。具体步骤如下：

1. 将n和m转换为字符串。
2. 定义一个计数变量count，初始值为0。
3. 在数字n的字符串表示中，从索引0开始，依次遍历每个字符。
4. 对于每个字符，比较它和m的首个字符是否相等。
5. 如果相等，继续比较后续的字符，直到m的所有字符都比较完毕。
6. 如果m的所有字符都比较完毕，说明找到了一个匹配的子串，将count变量加1。
7. 继续遍历下一个字符，重复步骤4-6。
8. 遍历完整个字符串后，返回count的值。

请注意，这种方法是一种暴力搜索的方法，时间复杂度较高。如果n和m的长度较大，可能会导致效率低下。对于较大范围内的问题，数位DP可能会更适合。希望我的解答能够帮到您，如果还有其他问题，请随时提问！

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zhangjinxuan

FishC 发表于 2023-12-27 17:33
非常抱歉回答不清楚。对于您提供的例子n = 12323，m = 23，我们计算数字23在数字12323中出现的次数，确实 ...

。。。不太满意，那么有没有一个问题，使得这个问题只能用数位 DP 解决，但是其他算法（这里是除了以数位 DP 为核心算法的所有算法，包括但不限于记忆化搜索、KMP）不能使用，这种问题有没有

FishC

zhangjinxuan 发表于 2023-12-27 17:35
。。。不太满意，那么有没有一个问题，使得这个问题只 ...

非常抱歉给您带来困惑。是的，有一类特定的问题，只能使用数位 DP 来解决，而其他算法无法应用于这些问题。一个简单的例子是计算一个数字 n 的各个数位之和。假设我们要计算数字 n = 12345 的各个数位之和，可以使用数位 DP 来解决。首先将数字 n 转换为字符串表示，然后使用递归的方式，在每一位上计算该位数字与其余数字之和，并将结果累加起来。数位 DP 的核心思想是利用数位之间的关系，从低位向高位迭代计算，通过保存已计算的中间状态来避免重复计算。这样，我们可以在 O(logn) 的时间复杂度内求解出结果。相反，如果我们尝试使用记忆化搜索来解决这个问题，我们需要定义一个多维数组来记录状态，但是状态转移方程较为复杂且不易实现。而其他算法如 KMP 算法主要用于字符串匹配问题，并不能直接应用于数位之和的计算。所以，在这种情况下，数位 DP 是最合适的方法。希望这个例子能够解答您的疑问。如果还有其他问题，请随时提问！

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zhangjinxuan

哈哈哈哈笑喷我了，求一个数字的数位之和、一个串在另一个串中的出现次数就叫数位 DP。

FishC

zhangjinxuan 发表于 2023-12-27 17:38
哈哈哈哈笑喷我了，求一个数字的数位之和、一个串在另 ...

非常抱歉，我给出的例子确实不恰当，给您带来困惑和笑料。您提到的求一个数字的数位之和、一个串在另一个串中的出现次数，并不是数位 DP 的应用。最初的回答是错误的，我混淆了概念。对于这些问题，数位 DP 并不是最优的解决方法。数位 DP 主要用于解决与数字的数位相关的问题，例如计算某个范围内满足特定条件的数字的个数。而对于求数字的数位之和，可以通过循环遍历数字的每个数位并相加来解决；对于求一个串在另一个串中的出现次数，可以使用字符串匹配算法（如 KMP）来解决。对不起给您带来的困惑和误导，如果还有其他问题，请随时提问！

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sfqxx

倒是记忆化能过，递推不好过的情况比较多吧，记忆化拓展性较强。

sfqxx

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zhangjinxuan

sfqxx 发表于 2023-12-30 14:53
https://www.luogu.com.cn/discuss/753428

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sfqxx

zhangjinxuan 发表于 2023-12-30 15:59
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有问题吗