等差数列

小甲鱼

等差数列

等差数列是数学中的一种常见序列，在数学分析、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

它具有一个特定的特征：序列中任何相邻两项的差是常数。这个常数被称为等差数列的公差，通常用字母 $d$ 表示。


定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。

比如：2, 4, 6, 8, 10, ...


通式

等差数列的第 n 项的一般形式可以表示为：

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

其中：

• $a_1$ 是数列的第 1 项
• $a_n$ 是数列的第 n 项
• $d$ 是公差
• $n$ 是项数
  

性质

等差数列有几个重要性质：

• 任何两个相邻项的差都等于公差。
• 任何一项都可以看作是首项和项数与公差的乘积的和。
• 任何一项，也可以看作是它前一项和公差的和（如果是后一项，则是减去公差）。
• 等差数列的中项等于它两侧项的平均值，即 $a_k = \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$。
  

求和公式

等差数列的前 n 项和 $S_n$ 可以用以下公式表示：

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

或者

$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]$


推导过程

设我们有一个等差数列：

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$

其中，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，所以第 n 项 $a_n$ 可以表示为：

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

等差数列的前 n 项之和记为 $S_n$，从而：

$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ldots + [a_1 + (n - 2)d] + [a_1 + (n - 1)d]$

现在，我们把 $S_n$ 倒过来写：

$S_m = [a_1 + (n - 1)d] + [a_1 + (n - 2)d] + \ldots  + (a_1 + 2d) + (a_1 + d) + a_1$

注意到 $S_n$ 和 $S_m$ 中每一列的两项和都是相同的，都等于 $a_1 + (n - 1)d$。

因此，如果我们将原来的 $S_n$ 和倒置后的 $S_m$ 相加：

$S_n + S_m = n[a_1 + a_1 + (n - 1)d]$

即：

$2S_n = n[2a_1 + (n - 1)d]$

现在，我们只需将两边都除以 2 来解出 $S_n$：

$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]$

或者

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

小甲鱼 TIPS：

这个推导过程经常归功于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯~

当高斯还是小学生时，他的老师为了让班上的学生忙碌一段时间，就让他们计算从1加到100的和。

高斯很快就发现了一个巧妙的方法来简化这个计算，他注意到：

• 1 + 100 = 101
• 2 + 99 = 101
• 3 + 98 = 101
• ...
• 50 + 51 = 101
  

每对相加的数字都等于 101，并且一共有 50 对这样的数字。

因此，他直接将 101 乘以 50，得到结果 5050，而不是一个个数相加。


例子

假设有一个等差数列 2, 5, 8, 11, ...

这个数列的首项 $a_1$ 是 2，公差 $d$ 是 3（因为每一项都比前一项多 3）。

根据通式，这个数列的第 4 项 $a_4$ 可以这样计算：

$a_4 = a_1 + (4 - 1)d = 2 + 3 \times 3 = 11$

所以，数列的第 4 项是 11。