已知 C^3 = 27，求 C = ？

小甲鱼的二师兄

已知 $C^3 = 27$，求 $C = \,?$

这是一道华罗庚竞赛题，需要考虑虚根。

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tommyyu

$ (a+bi)^3 = 27 $
$ a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i = 27 $
$ (a^3 -3ab^2) + (3a^2b-b^3)i = 27 $
$$
\begin{cases}
a^3 -3ab^2 = 27 -------①\\
3a^2b-b^3 = 0   -------②
\end{cases}
$$
观察 ② 式，分为两种情况：
$ 1. b = 0 $
带入回 ① 式，得
$ a ^ 3 = 27 $ (此时 a 是实数)
则 $ a = 3, b = 0 $

$ 2. 3a^2 - b^2 = 0 $
$ 3a^2 = b^2 $
有 $ b = \sqrt3a $ 或 $ b = -\sqrt3a $
带入回 ① 式，得 $ a^3 -3a · (3a^2) = 27 $
$ -8a^3 = 27 $
$ a = -\dfrac{3}{2} $
$ b = \dfrac{3\sqrt3}{2} $ 或 $ -\dfrac{3\sqrt3}{2} $

综之， $ c = 3 $ 或 $ -\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt3}{2}i $ 或 $ -\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt3}{2}i $

liuhongrun2022

一眼3，其他答案不会

小甲鱼的二师兄

liuhongrun2022 发表于 2024-2-12 13:23
一眼3，其他答案不会

看看参考答案~

stumblemodel

没学过虚数怎么办,只知道一个3

六翻了

虚数学过，但全忘记了
                               --------来自于大学牲

小甲鱼的二师兄

stumblemodel 发表于 2024-2-15 10:42
没学过虚数怎么办,只知道一个3

现在可以学了，学会可以在同学面前耀武扬威！

绘子手

看了半天，我只能答个3

绘子手

就算我还没有忘记虚数，我也难搞清楚其他答案

陈尚涵

这题用极坐标是不是会好做的多
我来试试那么设C为$re^{i\theta}$
则C^3为$r^3e^{3i\theta}$
对于27，$r=27,\theta=2k\pi,k\in Z$
联络二者$r^3=27,3\theta=2k\pi,k\in Z$
计算$r=3,\theta=\frac{2k\pi}{3},k\in Z$
k取0,1,2，得到三个$\theta$，代入x
$x_1=3e^{i\cdot0}\\
x_2=3e^{i\frac{2\pi}{3}}\\
x_3=3e^{i\frac{4\pi}{3}}$
展开
$x_1=3\\
x_2=3\ cos\ \frac{2\pi}{3}+3\ i\ sin\ \frac{2\pi}{3}\\
x_3=3\ cos\ \frac{4\pi}{3}+3\ i\ sin\ \frac{4\pi}{3}$
用小学二年级学过的诱导公式和特殊角结果整理成代数式
$x_1=3\\
x_2=-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}i}{2}\\
x_3=-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$