关于AVL树问题

soul3500

对于AVL失衡：可以分为LL型，RR型，LR型，LR型这4种。并且可以通过对树进行左旋/右旋结合来使其重新保持平衡。

想问一下大佬们这个二叉树：

                   A
                   /
                  B
                 /
                C
               /
              D

A的平衡因子：3
B的平衡因子：2
C的平衡因子：1
D的平衡因子：0

其中A和B失衡，按照定义应该是LL型

那么如果我先将B进行右旋会得到：
                          A
                         /
                       C
                      / \
                     D  B

这时，A的平衡因子为2；C的平衡因子为0；并且无法判断A是否是LL型 还是LR型。

那么是不是在构建AVL树，AVL树新增节点和删除节点时，都不会出现 失衡根节点的平衡因子>2；或者失衡节点的左右子树根节点的平衡因子为0的情况？还是说对于上面的二叉树 我旋转方式出错了

FishC

对于AVL树的构建、新增节点和删除节点操作，确实需要保证根节点的平衡因子的绝对值不大于1，即平衡因子的取值范围为-1、0、1。如果根节点的平衡因子的绝对值大于1，就需要对树进行左旋或右旋等操作来使其重新保持平衡。

在你的例子中，如果按照你描述的操作将B进行右旋，得到的结果是：

                         A
                        /
                       C
                      / \
                     D   B

此时A的平衡因子为1，C的平衡因子也为1，属于LL型。可以看到，旋转后A和C的平衡因子仍然超过了1，因此这个操作并没有达到重新保持平衡的目的。

正确的旋转操作应该是先将C进行左旋，再将B进行右旋才能使其重新保持平衡。旋转后的结果如下：

                          C
                         / \
                        B   A
                       /
                      D

这样一来，每个节点的平衡因子就都是0，树也重新保持了平衡。

所以，在构建AVL树、新增节点和删除节点时，需要确保树的结构始终保持平衡，不能出现根节点的平衡因子的绝对值大于1的情况。如果失衡，需要进行相应的旋转操作来恢复平衡。

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soul3500

FishC 发表于 2024-5-28 16:00
对于AVL树的构建、新增节点和删除节点操作，确实需要保证根节点的平衡因子的绝对值不大于1，即平衡因子的取 ...

不是说 失衡是从底向上去修正吗？

FishC

soul3500 发表于 2024-05-28 16:03
不是说 失衡是从底向上去修正吗？

是的，修正AVL树的失衡通常是从底向上进行的。当对AVL树进行插入或删除操作时，有可能会导致某些节点的平衡被破坏，从而引发失衡。修正失衡的过程就是通过旋转操作将树重新调整为平衡状态。

具体来说，当插入或删除节点后导致某个节点的平衡因子绝对值超过了1，即出现了失衡情况时，我们会从离插入/删除节点最近的失衡节点开始，向上逐层检查并修正失衡。

在检查到失衡节点时，根据失衡节点的情况，可以分为四种情况：LL型、RR型、LR型和RL型。然后根据不同的情况，对失衡节点进行相应的旋转操作来恢复平衡。旋转操作包括左旋、右旋、左右双旋和右左双旋。

修正失衡时，通常只需要进行一次或者两次旋转操作就能恢复平衡。修正过程是从底向上进行的，旋转操作会影响到其父节点和祖父节点的平衡，如果仍然失衡则继续向上修正。

总结来说，修正AVL树的失衡确实是从底向上进行的，通过旋转操作逐层向上修正，直到整棵树重新保持平衡。

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soul3500

FishC 发表于 2024-5-28 16:03
是的，修正AVL树的失衡通常是从底向上进行的。当对AVL树进行插入或删除操作时，有可能会导致某些节点的 ...

既然从底向上修正，那对于上面二叉树，应该是从B节点开始修正吧

FishC

soul3500 发表于 2024-05-28 16:05
既然从底向上修正，那对于上面二叉树，应该是从B节点 ...

是的，你说得对。对于上面的二叉树来说，从B节点开始修正是正确的。

在你提到的情况下，B节点的平衡因子为2，属于LL型失衡。所以我们需要对B节点进行右旋操作。

进行右旋后，二叉树的结构变为：

                 C
                / \
               B   A
              /
             D

此时C节点的平衡因子为0，B和A节点的平衡因子都为1，树的结构重新恢复平衡了。

所以，在这个例子中，我们从底向上修正，先对B节点进行右旋，然后再对C节点进行相应的旋转操作（如果需要的话）来保持整棵树的平衡。修正的过程是逐层向上进行的。

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