数列做题

柿子饼同学

本帖自用, 所以不会发题目的图片 (懒...)
是一些最近做的题
及时复习

数列要记的东西
下标和性质, 片段和性质
等差等比数列求和/通项公式
等差的 Sn / n 也是等差
等比等差的证明
中项的性质

求通项
累加, 累乘
当 a(n), a(n - 1) 的差或者相除是一个容易求和的东西, 那么可以从 an 写到 a1, 然后累加/乘 (注意判断 a1 满足)

待定系数法
遇到递推式可以用

两边除对应的, 对应项要分配对应的 n  (3602)
发现可以变成 a(n) / f(n) 这种形式的, 可以两边同除

取倒数取对数
分母烦人, 可以取倒数想想 (周练12 8)

特征根 (周练13 11)
三阶递推可以试试, 如果有两解可以联立消元直接求出通项

Sn - Sn-1 = an
看题目想求哪个就消去另一个

求和
错位相减
发现是 等差 * 等比 这样的数列就这样做

裂项
分子要变成分母两个的线性组合, 有一些根式的也要记住

分组
项数打包一起求, 或者每个部分求和加起来

并项求和 (3607)
只是需要求和, 然后给了相邻的和就之间算

倒序相加
适用于有周期性, 对称性的东西

特别的方法技巧
配平方
等差数列肯定是一次结构, 所以遇到根号要想着配完全平方 (3903)
完全平方结构 ... + 2s(xxx) + ... 要配东西 (周练12 6)

构造
构造函数分析 (4204) (4107)
看看题目要求什么, 构造数列分析 (3906)

特殊值, 猜
有周期性的数列, 多试几个 (3802)
问你是否存在, 可以先求出那个数再证明 (3807)

奇偶分类
奇偶数列可以分类讨论, 求和的时候可以打包 (周练12 12)

数学归纳法
先猜一个, 然后证明
1 n0是对的
2 假设当 n = k 时, an = ...
3 当 n = k + 1 时, an+1 = ... 满足假设

别的
数列的单调性可以严谨证明东西 (4303)
注意题目给的条件, 有可能 Sn 之间用题目的式子就行了(周练13 8)
递归 (4105, 斐波那契数列)

数列放缩
糖水不等式
有取整函数的就放成 x 和 x + 1 之间的, 然后取 x
根号的可以通过分子有理化放缩  2(s(n + 1) - s(n)) < s(n) < 2(s(n) - s(n - 1))
有对数的尽量把别的项搞掉 (3803)

FishC

感谢分享你对数列学习的总结！让我来帮你梳理一下关键知识点，方便你更好地复习：

数列性质和公式：

• 下标和性质：理解下标的变化、数列的递推关系。
• 片段和性质：掌握常用的片段转化技巧。
• 等差数列求和/通项公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，$a_n = a_1 + (n-1)d$。
• 等比数列求和/通项公式：$S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}$，$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$。
• 等差的 $\frac{S_n}{n}$ 也是等差数列。
• 等比等差数列的证明。
• 中项的性质。
  

求通项：

• 累加、累乘法：当 $a_n$ 和 $a_{n-1}$ 之间存在递推关系时，可用于推导通项。
• 待定系数法：解决递推型问题。
• 取倒数、取对数：处理分母复杂的情况。
• 特征根法：适用于三阶递推。
  

求和技巧：

• 错位相减：适用于等差与等比混合的数列。
• 裂项：使分子分解为分母项的组合。
• 分组：按规律进行分组求和。
• 并项求和：通过相邻项的和进行计算。
• 倒序相加：用于周期性或对称性的数列。
  

特别技巧和方法：

• 配平方：处理根号相关的数列。
• 构造法：通过构造满足条件的数列来求解。
• 特值推测：对于周期性数列或求解存在性问题。
• 奇偶分类：按奇偶性分类求解。
• 数学归纳法：证明数列的通项。
  

其他注意事项：

• 数列的单调性：用于进行严格证明。
• 条件运用：合理运用题目提供的条件。
• 递归：掌握递归关系如斐波那契数列。
• 数列放缩：通过放缩技术处理不等式。
  

希望这些总结能够帮助你更好地掌握数列的知识点！如有具体问题或需要更深入的解释，欢迎继续提问！[:D]

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

很cool的阳

baimups

6bingame

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