”坑娃压岁钱“概率求解

smallwh

原题见：这是春节坑压岁钱的一道题(出处: 鱼C论坛)


一、题意
题目的大致意思是，一共有 27 根木棒，分为 3 种颜色，每种 9 根。
每次抽 9 根，统计不同颜色的木棒的数量，并将所得数字适当排序。
然后按照表中的关系给压岁钱。

数字	金额	数字	金额
900	1000	540	40
810	100	522	30
720	80	531	20
711	70	441	10
630	60	333	5
621	50	234	-100

比如，抽出来木棒中有 2 根蓝色、5 根黄色、2 根粉色，找到数字522，从而确定要给 30 元。


二、知识点
1. 组合数（以及组合数公式的推导过程）(出处: 鱼C论坛)
2. 随机变量：

如果随机试验的样本空间为 Ω ，而且对于 Ω 中的每一个样本点，变量 X 都有唯一确定的实数值与其对应，就称 X 为一个随机变量。——高中数学课本

举个例子：假设我们抛一枚骰子，用字母 X 表示向上的点数，字母 X 就有了一个“洋气”的名字，叫作随机变量。
3. 均值：
    也叫作期望，用 E 表示。均值的求法为，对随机变量 X 的每一个值， 乘上对应的概率后求和。（当然，这不是严谨的定义）
    举个例子：假设我们抛一枚骰子，用字母 X 表示向上的点数。X 的值可以为 1,2,3,4,5,6 ，且每个值出现的概率都是 $ \frac {1} {6} $
    则 X 的均值 $ E(X)=1\times \frac {1} {6}+2\times \frac {1} {6}+3\times \frac {1} {6}+4\times \frac {1} {6}+5\times \frac {1} {6}+6\times \frac {1} {6}=3.5 $
4. 在该文章中，概率一律用 P 表示，组合数用一律 C 表示。


三、求解:
解:记随机变量 X 为每次获得的压岁钱,X 的取值有 {1000,100,80,70,60,50,40,30,20,10,5,-100}.

先不考虑其他情况,从 27 根不同的木棍中选 9 个,有$ {C}^{9}_{27} $种选法.
1. 其中全为红,全为黄或全为蓝时,符合 9-0-0 ,X = 1000.
此时共有 3 种情况,即$ {C}^{9}_{9}\times 3 $
2. 符合 8-1-0 时 ,X = 100.可以是红8黄1蓝0,红8黄0蓝1,红1黄0蓝8...
此时共有 6 种类别,每种类别有$ {C}^{8}_{9}\times {C}^{1}_{8} $种情况.共有$ {C}^{8}_{9}\times {C}^{1}_{9}\times 6 $种情况.
3. 符合 7-2-0 时, ,X = 80.同理可知共有 6 种类别,
每种类别有$ {C}^{7}_{9}\times {C}^{2}_{9} $种情况.共有$ {C}^{7}_{9}\times {C}^{2}_{9}\times 6 $种情况.
4. 符合 7-1-1 时, ,X = 70.可知共有 3 种类别(红7黄1蓝1,红1黄7蓝1,红1黄1蓝7),
每种类别有$ {C}^{7}_{9}\times {C}^{1}_{9}\times {C}^{1}_{9} $种情况.共有$ {C}^{7}_{9}\times {C}^{1}_{9}\times {C}^{1}_{9}\times 3 $种情况.
......
其他的情况分别是:

6-3-0	6-2-1	5-4-0	5-2-2
$ {C}^{6}_{9}\times {C}^{3}_{9}\times 6 $	$ {C}^{6}_{9}\times {C}^{2}_{9}\times {C}^{1}_{9}\times 6 $	$ {C}^{5}_{9}\times {C}^{4}_{9}\times 6 $	$ {C}^{5}_{9}\times {C}^{2}_{9}\times {C}^{2}_{9}\times 3 $
5-3-1	4-4-1	3-3-3	2-3-4
$ {C}^{5}_{9}\times {C}^{3}_{9}\times {C}^{1}_{9}\times 6 $	$ {C}^{4}_{9}\times {C}^{4}_{9}\times {C}^{1}_{9}\times 3 $	$ {C}^{3}_{9}\times {C}^{3}_{9}\times {C}^{3}_{9} $	$ {C}^{2}_{9}\times {C}^{3}_{9}\times {C}^{4}_{9}\times 6 $

接下来便是计算时间。我选择的计算器是 python ，其中的 math 模块的 comb 函数能计算组合数。

>>> import math
>>> math.comb(27,9)
4686825

计算得到的数据是

[(3, 1000), (486, 100), (7776, 80), (8748, 70), (42336, 60), (95256, 50), (163296, 40), (489888, 30), (571536, 20), (428652, 10), (592704, 5), (2286144, -100)]

其中每一对的前一项是情况数，后一项是 X 的值. 情况数除以 4686825 即为相应的概率。
现在就能看出来蹊跷了，P(X=-100) 最大！这意味着交钱的概率最大。

进一步计算表明，E(X) = 0！

>>> sum((x*y for x,y in c)) / 4686825
0

全部计算过程：

Python 3.8.5 (tags/v3.8.5:580fbb0, Jul 20 2020, 15:57:54) [MSC v.1924 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license()" for more information.
>>> import math
>>> math.comb(27,9)
4686825
>>> 3
3
>>> 9*9*6
486
>>> c = math.comb
>>> c(9,7)*c(9,2)*6
7776
>>> c(9,7)*9*9*3
8748
>>> c(9,6)*c(9,3)*6
42336
>>> c(9,5)*c(9,4)*6
95256
>>> c(9,6)*c(9,2)*c(9,1)*6
163296
>>> c(9,5)*c(9,2)*c(9,2)*3
489888
>>> c(9,5)*c(9,3)*c(9,1)*6
571536
>>> c(9,4)*c(9,4)*3*9
428652
>>> c(9,3)**3
592704
>>> c(9,4)*c(9,3)*c(9,2)*6
2286144
>>> a=(3,486,7776,8748,42336,95256,163296,489888,571536,428652,592704,2286144)
>>> sum(a)
4686825
>>> b=(1000,100,80,70,60,50,40,30,20,10,5,-100)
>>> zip(a,b)
<zip object at 0x0000000002998080>
>>> c=_
>>> sum((x*y for x,y in c))
0
>>>

四、结论:
E(X) = 0 意味着随着游戏次数的增多，平均每次获得的压岁钱有越来越大的可能接近0.
换句话说，这个游戏根本就不会给你太多压岁钱。

如果 E(X) > 0 ,便意味着随着游戏的进行，你的压岁钱最有可能越来越多。如果 E(X) < 0 ,随着游戏的进行，你的压岁钱最有可能越来越少。
不过概率嘛，在次数很多的时候数学的计算才准确，次数少的时候便有很大的运气成分。
如果你一开始就抽到了 1000 元......


最后祝大家新年快乐，祥蛇纳福！

某一个“天”

sfqxx

好文