小鳄趣题——抓球取胜

恶有鳄抱

桌子上有100 个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。

条件是——每次拿球至少要拿1个，但最多不能超过5个。

请问——如果你是先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球?




【答案思路】

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苗生海海

倒推，保证自己拿到94、88、82、76、70、64、58。。。。4，所以先拿4，然后保证每次两人之和为6就行

zhangjinxuan

直接上理性而非感性的博弈论，定义 $SG(x)$ 表示有 $x$ 个石子的情况下的 $SG$ 值，然后不难发现：

- $SG(0) = 0$
- $SG(1) = 1$
- $SG(2) = 2$
- $\dots$
- $SG(6) = mex(SG(1), SG(2), SG(3), SG(4), SG(5)) = 0$
- $SG(7) = 1$
- $SG(100) = 4$
- $SG(x) = x \bmod 6$

$SG(100)$ 不等于 $0$，所以必胜，假定目前的石子数量是 $x$，直接拿走 $x\bmod 6$ 的数量即可，这样就能时刻保证对方的 $SG$ 恒定为 $0$，自己当然也就能胜利了。

所以先拿 $4$ 个。

Bacterium

苗生海海 发表于 2025-2-14 13:08
倒推，保证自己拿到94、88、82、76、70、64、58。。。。4，所以先拿4，然后保证每次两人之和为6就行

保证和为6，对方拿一个你咋办呀

苗生海海

Bacterium 发表于 2025-2-15 00:07
保证和为6，对方拿一个你咋办呀

我拿5个

Bacterium

苗生海海 发表于 2025-2-17 08:29
我拿5个

不好意思好兄弟，我没看清题目，我以为最多拿4个

苗生海海

Bacterium 发表于 2025-2-17 10:28
不好意思好兄弟，我没看清题目，我以为最多拿4个