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题目122:找出计算幂的最高效方法

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发表于 2016-8-22 23:13:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 欧拉计划 于 2016-8-22 23:16 编辑
Efficient exponentiation

The most naive way of computing n15 requires fourteen multiplications:

n × n × ... × n = n15

But using a "binary" method you can compute it in six multiplications:

n × n = n2
n2 × n2 = n4
n4 × n4 = n8
n8 × n4 = n12
n12 × n2 = n14
n14 × n = n15

However it is yet possible to compute it in only five multiplications:

n × n = n2
n2 × n = n3
n3 × n3 = n6
n6 × n6 = n12
n12 × n3 = n15

We shall define m(k) to be the minimum number of multiplications to compute nk; for example m(15) = 5.

For 1 ≤ k ≤ 200, find ∑ m(k).


题目:

计算 n15 的最朴素的算法要 14 次乘法

n × n × ... × n = n15

如果采用分治的方法,你可以只要六次乘法就完成这一工作:

n × n = n2
n2 × n2 = n4
n4 × n4 = n8
n8 × n4 = n12
n12 × n2 = n14
n14 × n = n15

然而,只用 5 次乘法的方法也是存在的:

n × n = n2
n2 × n = n3
n3 × n3 = n6
n6 × n6 = n12
n12 × n3 = n15

我们定义 m(k) 为计算 nk 所需的乘法的最少次数,比如 m(15)=5。

对于 1 ≤ k ≤ 200, 求 m(k) 的和。

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发表于 2016-11-29 20:50:48 | 显示全部楼层
解答:
#coding:utf-8
L = 201
ways = [[[0]*L] for i in range(L)]
ways[2] = [[2,1]]
for i in range(2,L):
    for eachway in ways[i]:
        for p in eachway:
            n = i + p
            if n < L:
                if min([len(each) for each in ways[n]]) > min([len(each) for each in ways[i]]) + 1:
                    ways[n] = [[n] + eachway]
                elif min([len(each) for each in ways[n]]) == min([len(each) for each in ways[i]]) + 1:
                    ways[n] += [[n] + eachway]

print (sum([(min([len(each) for each in ways[x]])-1) for x in range(2,201)]))

答案:
1582
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发表于 2022-4-20 11:14:28 | 显示全部楼层
//应用带路径的广搜
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int nN = 200;
int m[nN + 1];//记录最短路径长度

queue<vector<int> > q;//带路径的广搜队列

int main(void)
{
  for (int i = 1; i <= nN; ++i)
    m[i] = i - 1;
  vector<int> v;//记录搜索的路径
  v.push_back(1);
  q.push(v);
  while (!q.empty())
  {
    vector<int> v0 = q.front();
    q.pop();
    for (int i = 0; i < (int)v0.size(); ++i)//扩展下一个节点
    {
      int k = v0.back();
      k += v0[i];
      if (k <= nN)//检查数据的有效性
      {
        if (v0.size() <= m[k])//找到更短的路径
        {
          m[k] = v0.size();
          v = v0;
          v.push_back(k);
          q.push(v);
        }
      }
    }
  }
  int nS = 0;
  for (int i = 1; i <= nN; ++i)
  {
    cout << i << ": " << m[i] << endl;
    nS += m[i];
  }
  cout << nS << endl;
  return 0;
}
答案:1582
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