对数

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对数

写在前面
写这个帖子的初衷是因为看到了这个帖子->https://fishc.com.cn/thread-223707-1-1.html
个人认为该帖对对数的概念描述不严谨，且该帖对对数的研究并不深入，因此想写一篇帖子对对数进行详细的解释。
本贴参考书籍为人教版高中数学必修一A版教科书，仅对中学阶段的对数进行解释。
对数的概念
情景引入
问题：有一家电视机厂商，随着我国经济的迅猛发展，越来越多的家庭开始购买电视机，假设该家电视机厂商在2000年以后每过一年它的销售额就比去年增加20%，那么多少年它的销售额能达到2000年的2.0736倍？
解答：
设x年后可达到2000年的2.0736倍，则可列出方程 1.2^x=2.0736，解得x=4，即2004年它的销售额能达到2000年的2.0736倍。
那么，我们应当如何表示该方程中的x呢？由此，我们引入了对数(logarithm)这一概念。
定义
一般地，若 a^x=N ( a>0，且a≠1 )，那么x就叫做以a为底的N的对数(logarithm)，记作 x=log_aN。而 log 就是 logarithm 的缩写。
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如，因为 3²=9，因此2是以3为底的9的对数，记做 log₃9=2 。
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并将 log₁₀N 记为 lg N。将以e为底的对数叫做自然对数，并将 log_eN 记为 ln N。
经过人们的大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，大家可自行查询。
因为，x=log_aN ( a>0，且a≠1 )，所以N的范围为 N>0，即负数和0没有对数。
对数的计算
问题导入
在引入对数后，我们目前只知道如何去将指数式化为对数式，或者将对数式化为指数式，并不知道应当如何去运算对数，但我们知道根据对数的定义可以知道对数与指数之间的关系，那我们便可以利用指数的运算性质来推出对数的运算性质。
探究
我们知道 a^maⁿ=a^m+n，所以我们可以这样探究。
设 M=a^m，N=aⁿ
所以，m=log_aM，n=log_aN
MN=a^m+n
将其写为指数式就是 log_a(MN)=m+n
将式中的m和n替换为 log_aM 和 log_aN 后便可得到
log_a(MN)=log_aM+log_aN
同理，将 a^m÷aⁿ=a^m-n 和 (a^m)ⁿ=a^mn 仿照上面的过程便可得到下列三条对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 1). loga(MN)=logaM+logaN； 2). logaM/N=logaM-logaN； 3). logaMn=nlogaM ( n∈R ).

对数换底
问题导入
我们已经知道了该如何去计算对数，却只知道自然对数表和常用对数表，那其它底的对数该如何求值呢？也许可以将其它底的对数转化成以e或10为底的对数
探究
设 log_ab=x，则 a^x=b，可得 log_ca^x=log_cb.
然后可得 xlog_ca=log_cb
即 log_ab=log_cb/log_ca ( a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1 ).
该式便叫做对数换底公式。
例子
若我们要计算 log₂3 可以这样计算，log₂3=ln2/ln3≈0.63
写在后面
以上就是要讲的全部内容，由于编写仓促，难免会有错误，如若发现，可回复说明，我看到便会进行修改。

琅琊王朝