求此题证明

zhangjinxuan

You are given two arrays $ a $ and $ b $ of size $ n $ . The beauty of the arrays $ a $ and $ b $ is the number of indices $ i $ such that $ a_i > b_i $ .

You are also given an integer $ x $ . Determine whether it is possible to rearrange the elements of $ b $ such that the beauty of the arrays becomes $ x $ . If it is possible, output one valid rearrangement of $ b $ .



正解是 ”用 a 较大的 x 个元素与 b 较小的 x 个元素比较，如果这种方法不可以就一定不存在其他的构造方案”，为什么是对的，求证明。

FishC_GPT

我们假设存在一种其他的构造方案可以使得数组b的beauty变为x。

首先，我们需要知道对于每个索引i，$a_i$和$b_i$只有三种可能的关系：
1. $a_i > b_i$
2. $a_i = b_i$
3. $a_i < b_i$

假设有一种其他的构造方案可以使得数组b的beauty变为x。那么这意味着在这种构造方案下，有x个索引i满足$a_i > b_i$。我们将这些索引标记为集合$S$，即$S$是这x个索引的集合。

现在考虑集合$S$中的任意一个索引i。根据构造方案和美丽值的定义，我们知道在$b_i$之前的所有元素都应该小于或等于$a_i$。但是，根据$a_i > b_i$的条件，我们知道$b_i$必须小于$a_i$。因此，在索引i之前的元素中，至少有一个元素应该小于$a_i$。

然而，我们已经假设了这种其他的构造方案可以使得数组b的beauty变为x。那么在这种构造方案下，集合S中的每个索引都有一个符合要求的元素在它之前。也就是说，对于集合S中的任意一个索引i，都有至少一个元素小于$a_i$。但是，根据鸽巢原理，对于任意n个元素（其中n是集合S的大小），最多只有n-1个元素小于$a_i$。

因此，我们得出结论，在这种其他的构造方案下，集合S中的每个索引都不能满足要求，即不存在这样的构造方案。

所以，正确的解法是用a中较大的x个元素与b中较小的x个元素比较。如果这种方法不可以，那么一定不存在其他的构造方案。

以上回复来自 -- ChatGPT（FishC官方接口），如未能正确解答您的问题，请继续追问。

柿子饼同学

最好情况下不就是把 x 个 b 的元素排到 x 个分别大于他们的 a 元素上吗

zhangjinxuan

柿子饼同学 发表于 2023-11-30 10:04
最好情况下不就是把 x 个 b 的元素排到 x 个分别大于他们的 a 元素上吗

不是把较小的 x 个 b 的元素排到 x 个较大的 a 元素上吗

柿子饼同学

zhangjinxuan 发表于 2023-11-30 10:06
不是把较小的 x 个 b 的元素排到 x 个较大的 a 元素上吗

哎呀就是这样的 , 我表达不清楚
那这就是最基础的情况了 , 所以应该是对的

zhangjinxuan

柿子饼同学 发表于 2023-11-30 10:06
哎呀就是这样的 , 我表达不清楚
那这就是最基础的情况了 , 所以应该是对的

如何证明

柿子饼同学

zhangjinxuan 发表于 2023-11-30 10:11
如何证明

感性 , 感性证明
你要去感受它

zhangjinxuan

柿子饼同学 发表于 2023-11-30 11:49
感性 , 感性证明
你要去感受它