解方程：2^(x-1) = 1 / x

小甲鱼的二师兄

解方程：

$2^{x-1} = \frac{1}{x}$


答案是 1，置顶楼层正解~

dolly_yos2

前几天看到论坛似乎支持 LaTeX 的数学格式了，来试试
首先观察到 $2^{x-1}$ 定义在 $\mathbb{R}$ 上且值域为 $\left(0,+\infty\right)$ 而 $\dfrac{1}{x}\in\left(0,+\infty\right)$ 当且仅当 $x\in\left(0,+\infty\right)$，因此方程的根如果存在一定出现在 $\left(0,+\infty\right)$。
在 $\left(0,+\infty\right)$ 上 $x$ 到 $\log_{2}{x}$ 是单调递增的一一映射，因此可以将方程简化为 $x-1=-\log_{2}{x}$，即 $x+\log_{2}{x}=1$。不难看出左侧在定义域上是单调递增的，那么方程的根至多有一个。
当 $0<x<1$ 时，$\log_{2}{x}<0$，因此$x+\log_{2}{x}<1$；当 $x>1$ 时，$\log_{2}{x}>0$，因此 $x+\log_{2}{x}>1$，故这两个区间上不存在解。
当 $x=1$ 时，恰好有 $x+\log_{2}{x}=1$，这也就是原方程唯一的解。

不二如是

小甲鱼的二师兄

dolly_yos2 发表于 2024-1-10 22:27
前几天看到论坛似乎支持 LaTeX 的数学格式了，来试试
首先观察到 $2^{x-1}$ 定义在 $\mathbb{R}$ 上且值域 ...

厉害！