深入浅出进制转换

小甲鱼

深入浅出进制转换

进制转换是在编程中非常常见的操作，特别是在数据处理和底层开发中。

这里小甲鱼将深入浅出地讲解进制转换的原理和实现方法。


进制的基本概念

在计算机科学中，最常用的进制有二进制（Binary）、十进制（Decimal）、八进制（Octal）和十六进制（Hexadecimal）。它们分别使用不同的基数（Base）：

• 二进制：基数为 2，使用数字 0 和 1 表示。
• 十进制：基数为 10，使用数字 0 到 9 表示。
• 八进制：基数为 8，使用数字 0 到 7 表示。
• 十六进制：基数为 16，使用数字 0 到 9 和字母 A 到 F（其中，A 表示 10，F 表示 15）。
  

这是什么意思呢，比如对于二进制数来说，它只有 0 和 1 两个数字。

所以，当要表示十进制的数字 3 时，对应的二进制数应该是 11。

以下是一些十进制数字及其相对应的二进制、八进制和十六进制表示：

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

进制系统的基本原理

任何进制系统都是基于其基数的幂来表示数值。

十进制是基数为 10 的数制，每一位上的值是 10 的幂次倍数：

$d_{n} \times 10^{n} + d_{n-1} \times 10^(n-1) + \dots + d_{1} \times 10^{1} + d_{0} \times 10^{0}$

例如，十进制数 250，就相当于：

$2 \times 10^{2} + 5 \times 10^{1} + 0 \times 10^{0} = 250$

同样地，二进制是基数为 2 的数制，每一位上的值是 2 的幂次倍数：

$b_{n} \times 2^{n} + b_{n-1} \times 2^(n-1) + \dots + b_{1} \times 2^{1} + b_{0} \times 2^{0}$

因此，二进制数 110，就相当于：

$1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 0 \times 2^{0}= 4 + 2 = 6$

理解进制系统的基本原理后，我们也就掌握了任何进制数转换为十进制数的方法！

这个过程的核心在于理解每个位置上的数值是基数的幂次倍数，并通过累加这些数值来得到十进制表示。


对于小数也是以此类推，比如二进制数 110.011，就相当于：

$1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 0 \times 2^{0} + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3}= 4 + 2 + 0.25 + 0.125 = 6.375$


十进制转换到其他进制的方法

十进制转二进制

在二进制数中，每一位只能是 0 或 1。

要将一个十进制数转换为二进制，我们需要确定每个二进制位上的值。

这可以通过除以 2 并求余数来实现：

• 除以 2：将十进制数除以 2，记录商和余数。
• 重复步骤：用商继续除以 2，直到商为 0。
• 记录余数：将所有余数逆序排列，即为二进制表示。
  

示例：

将十进制数 12 转换为二进制：

• 12 / 2 = 6……0
• 6 / 2 = 3……0
• 3 / 2 = 1……1
• 1 / 2 = 0……1
  

结果从下往上看，因此，十进制的数字 12，对应到二进制的结果就是 1100。


对于带小数的十进制数，整数部分和小数部分需要做不同处理。

比如十进制数 6.375，整数部分不变，同样是通过除以 2 并求余数：

• 6 / 2 = 3……0
• 3 / 2 = 1……1
• 1 / 2 = 0……1
  

得到二进制整数 110。

对于小数部分，则需要通过乘以 2，取整数部分：

• 0.375 * 2 = 0.75 取整数部分 0
• 0.75 * 2 = 1.5 取整数部分 1
• 0.5 * 2 = 1.0  取整数部分 1
  

结果从上往下看，得到二进制小数 011。

合并后的结果是 110.011，即十进制数 6.375 转换为二进制数是 110.011。


十进制转八进制

同样的道理，对于八进制，可以通过除以 8 并求余数来实现：

• 除以 8：将十进制数除以 8，记录商和余数。
• 重复步骤：用商继续除以 8，直到商为 0。
• 记录余数：将所有余数逆序排列，即为八进制表示。
  

示例：

• 110 / 8 = 13……6
• 13 / 8 = 1……5
• 1 / 8 = 0……1
  

因此，十进制的数字 110，对应到二进制的结果就是 156。


十进制转十六进制

同样的道理，对于十六进制，可以通过除以 16 并求余数来实现：

• 除以 16：将十进制数除以 16，记录商和余数。
• 重复步骤：用商继续除以 16，直到商为 0。
• 记录余数：将所有余数逆序排列，即为十六进制表示。
  

示例：

• 250 / 16 = 15……10
• 15 / 16 = 0……15
  

由于十六进制数使用 A 表示 10，使用 F 表示 15。

因此，十进制的数字 250，对应到十六进制的结果就是 FA。

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