三门问题

陈尚涵

三门问题：你面前有三扇门，其中一扇门是汽车，另外两扇门是山羊，你选择一扇门，接下来你知道除你选择的门之外有一扇门里有山羊，此时你可以决定是否选择除自己之前选择的门和已知的里面有山羊的门之外的门（剩下的门），应不应该选择这扇门呢？（也就是剩下的门里有汽车的概率有没有选择之前选择的一扇门的概率高）
举个例子，有三扇门， 你选择了第一扇门，这时你知道了第二扇门（也就是除了第一扇门（你开始选择的门）之外的任意一扇门）里是个山羊，你还可以选择第三扇门（也就是除了第一扇门（你开始选择的门）和你已知的有山羊的门（第二扇门）之外的门，简单来说就是剩下的门）那么此时你应不应该选择第三扇门呢？（也就是第三扇门里有汽车的概率有没有选择第一扇门的概率高）
那么到底是否应该选择剩下的门呢？那么我告诉你，是2/3（三分之二）的概率。你先别急着反驳，我给你讲讲为什么。
在刚开始我选择一扇门的时候，这扇门为汽车的概率为1/3，那么除我选择的门之外的门有汽车的概率，即我选择的门不为汽车的概率，为2/3，那么在这2/3的概率中，除我选择的门之外的门中一扇是山羊，一扇是汽车，在1/3的概率中除我选择的门之外的门都是山羊，那么你知道了除你选择的门之外的门中的一扇是山羊，在那2/3的概率中剩下的门就是汽车，在1/3的概率中剩下的门就是山羊，即剩下的门为汽车的概率是2/3。
这边也可以参考@zhangjinxuan 的证明方法：一开始，如果我们选择一个后面是羊的门，那么我们就会知道另一个有羊的门，此时两个羊都被排除，选剩下的门一定得到车，而这种一开始选到羊的概率是 2/3。如果我们一开始选择有车的门，那么，剩下的门总是会是羊，这种一开始选到车概率是1/3。
如果你还是不信剩下的门为汽车的概率是2/3，毕竟是学编程的，写个程序证明一下不就行了？（通过模拟题目，输出一千万次剩下的门为汽车的次数）
图一时之快先看答案，你将失去一次锻炼的机会！
请先自己思考和动手，再回复查看参考答案。
直接完全按照题目写，可得3鱼币3荣誉1贡献
也可以优化一下，可得5鱼币5荣誉3贡献

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陈尚涵

@zhangjinxuan @歌者文明清理员 @sfqxx @高山 @一点沙 来看看

zhangjinxuan

我的理解是，你不更改选择的话，那么你选择的物品不会变化，所以对应的概率就不会变，还是原本的 1/3。

什么乱七八糟的证明

或者我们可以列出所有的情况来考虑，那就算了。

陈尚涵

zhangjinxuan 发表于 2023-7-9 15:11
我的理解是，你不更改选择的话，那么你选择的物品不会变化，所以对应的概率就不会变，还是原本的 1/3。

...

你这个证明很容易就会被推翻的，比如山羊没了，然后就剩两扇有可能存在汽车的门，那就是1/2了

陈尚涵

zhangjinxuan 发表于 2023-7-9 15:11
我的理解是，你不更改选择的话，那么你选择的物品不会变化，所以对应的概率就不会变，还是原本的 1/3。

...

我这个证明你只要看懂了，那么你是很难推翻他的

zhangjinxuan

陈尚涵 发表于 2023-7-9 15:17
我这个证明你只要看懂了，那么你是很难推翻他的

我悟了一点。

就是一开始，如果我们选择一个后面是羊的门，那么主持人只能选择另一个有羊的门，此时两个羊都被排除，更换一定得到车，而这种一开始选到羊的概率是 2/3。

如果我们一开始选择有车的门，那么无论怎么更换，我们总是会选到羊，这种概率是 1/3。

所以，如果我们在主持人开门后总是更换，会有 2/3 的概率得到的大奖。

证完了。

陈尚涵

zhangjinxuan 发表于 2023-7-9 15:26
我悟了一点。

就是一开始，如果我们选择一个后面是羊的门，那么主持人只能选择另一个有羊的门，此时 ...

正确，和我的思路一样

zhangjinxuan

陈尚涵 发表于 2023-7-9 15:29
正确，和我的思路一样

至于程序，dfs 他不香吗

陈尚涵

zhangjinxuan 发表于 2023-7-9 15:29
至于程序，dfs 他不香吗

可能我没说清楚，这个程序是用通过模拟题目，输出一千万次剩下的门为汽车的次数
你这个不用程序，用数学不就行了，确定你选的门始终为0号和随意选择概率一样的，就三种可能

zhangjinxuan

陈尚涵 发表于 2023-7-9 15:35
可能我没说清楚，这个程序是用通过模拟题目，输出一千万次剩下的门为汽车的次数
你这个不用程序，用数学 ...

sfqxx

2/3

yinda_peng

确实，2/3，大概一个for循环应该就可以了

小甲鱼

2/3 和 1/2 都各有道理~

假设选的都是 1 号门，那么主持人每次都会在 2 号门和 3 号门之间打开一个没有车的门，将所有情况做成表格如下：

1号门	2号门	3号门	不换	换
羊	羊	车	羊	车
羊	车	羊	羊	车
车	羊	羊	车	羊

所以换的成功概率是 2/3。

而 1/2 的解释是：如果主持人打开了 1 扇没有车的门，那么剩下 2 个门不管我换或者不换，摆在眼前的概率都是 1/2。

这道题似乎目前两个派别都无法说服对方~

不过，利用程序模拟，可以明显看到换的成功率是 2/3，不换是 1/3：

from random import choice

def stay():
    doors = ['car', 'goat', 'goat']
    choose = choice(doors)
    if choose == 'car':
        return True
    else:
        return False
    
def exchange():
    doors = ['car', 'goat', 'goat']
    choose = choice(doors)
    doors.remove(choose)
    doors.remove('goat')
    if doors[0] == 'car':
        return True
    else:
        return False
    
if __name__ == '__main__':
    total = 1000000
    stay_win = 0
    exchange_win = 0
    
    for i in range(total):
        if stay():
            stay_win += 1
        if exchange():
            exchange_win += 1

    print(f"不换的成功率是：{stay_win / total}")
    print(f"换的成功率是：{exchange_win / total}")

1 万次测试结果如下：

不换的成功率是：0.341
换的成功率是：0.6606

10 万次测试结果如下：

不换的成功率是：0.33311
换的成功率是：0.66903

100 万次测试结果如下：

不换的成功率是：0.333643
换的成功率是：0.667619

1000 万次测试结果如下：

不换的成功率是：0.3333945
换的成功率是：0.6668342

Ewan-Ahiouy

import random

def xuanze():
    k = [1, 1, 2]
    random.shuffle(k)
    xuan = random.randint(0, 2)
    k.remove(k[xuan])
    k.pop(k.index(1))
    o = k[0]
    if o == 2:
        return True
    return False

def buxuan():
    k = [1, 1, 2]
    random.shuffle(k)
    xuan = random.randint(0, 2)
    if k[xuan] == 2:
        return True
    return False

p = [xuanze() for i in range(10000)]
q = [buxuan() for i in range(10000)]
xuan1 = p.count(True)
xuant = q.count(True)
print("{:.3f}%".format(xuan1 / len(p) * 100))
print("{:.3f}%".format(xuant / len(q) * 100))

直接模拟，证明成功

确实大约是66%

小甲鱼

小甲鱼 发表于 2023-7-9 15:58
2/3 和 1/2 都各有道理~

假设选的都是 1 号门，那么主持人每次都会在 2 号门和 3 号门之间打开一个没有 ...

忘了这是C\C++交流语言板块，习惯就写成 Python 代码了~



C 语言实现如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

int stay() {
    int doors[3] = {1, 0, 0};   // 1代表'car', 0代表'goat'
    int choose = doors[rand() % 3];
    return choose == 1;
}

int exchange() {
    int doors[3] = {1, 0, 0};   // 1代表'car', 0代表'goat'
    int choose = doors[rand() % 3];
    if (choose == 1) {
        return 0;
    } else {
        return 1;
    }
}

int main() {
    srand(time(0));
    int total = 1000000;
    int stay_win = 0;
    int exchange_win = 0;

    for (int i = 0; i < total; i++) {
        if (stay()) {
            stay_win++;
        }
        if (exchange()) {
            exchange_win++;
        }
    }

    printf("不换的成功率是：%f\n", (double)stay_win / total);
    printf("换的成功率是：%f\n", (double)exchange_win / total);

    return 0;
}

陈尚涵

Ewan-Ahiouy 发表于 2023-7-9 15:58
直接模拟，证明成功

确实大约是66%

模拟次数越多概率越准，我都是1千万次
python有点看不太懂， 是完全按照题意写的吧？

Ewan-Ahiouy

陈尚涵 发表于 2023-7-9 16:08
模拟次数越多概率越准，我都是1千万次
python有点看不太懂， 是完全按照题意写的吧？

嗯，cpp有点麻烦，就写了python

歌者文明清理员

陈尚涵 发表于 2023-7-9 15:06
@zhangjinxuan @歌者文明清理员 @sfqxx @高山 @一点沙 来看看

c + + 的 问 题 不 要 叫 我