1. 建立拉格朗日方程
首先,我们需要建立该物理系统的拉格朗日方程。假设小车位于直线轨道上,摆杆的质心距离小车为 $l$,摆杆的质量为 $m$,小车的质量为 $M$,地球引力加速度为 $g$。则该系统的自由度为 2,可以定义两个广义坐标:
$$L=T-V=\frac{1}{2}M\dot x^2+\frac{1}{2}m(\dot x^2+l^2\dot \theta^2+2l\dot x\dot \theta\cos\theta)-mgl\cos\theta$$
$$\begin{cases} (M+m)\ddot x+ml\ddot\theta\cos\theta-ml\dot \theta^2\sin\theta=F \\ ml\ddot x\cos\theta+(M+m)l\ddot\theta+mglsin\theta=0 \end{cases}$$
2. 使用 MATLAB 或 Python 绘制运动轨迹
clear;clc;
% 定义系统参数
M = 1; % 小车质量
m = 0.1; % 摆杆质量
l = 0.5; % 摆杆长度
g = 9.8; % 重力加速度
% 定义初始状态
x0 = 0; % 小车起始位置
dx0 = 0; % 小车起始速度
theta0 = 0.1; % 摆杆起始角度
dtheta0 = 0; % 摆杆起始角速度
% 定义仿真时间和时间步长
T = 10; % 仿真时间
dt = 0.01; % 时间步长
% 定义外力函数
F = @(t) 0.5*sin(t); % 外力随时间的变化
% 初始化状态和时间向量
tvec = 0:dt:T;
xvec = zeros(size(tvec));
dxvec = zeros(size(tvec));
thetaVec = zeros(size(tvec));
dthetaVec = zeros(size(tvec));
% 设置初始状态
xvec(1) = x0;
dxvec(1) = dx0;
thetaVec(1) = theta0;
dthetaVec(1) = dtheta0;
% 对系统微分方程进行数值解
for i = 1:numel(tvec)-1
t = tvec(i);
x = xvec(i);
dx = dxvec(i);
theta = thetaVec(i);
dtheta = dthetaVec(i);
Fext = F(t);
% 计算加速度
[ddx, ddtheta] = compute_acceleration(x,dx,theta,dtheta,Fext,M,m,l,g);
% 进行数值积分
xvec(i+1) = x + dx*dt;
dxvec(i+1) = dx + ddx*dt;
thetaVec(i+1) = theta + dtheta*dt;
dthetaVec(i+1) = dtheta + ddtheta*dt;
end
% 绘制小车和摆杆的运动轨迹
figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(tvec,xvec,'LineWidth',2);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Position (m)');
title('Position of Cart');
subplot(3,1,2);
plot(tvec,thetaVec,'LineWidth',2);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Angle (rad)');
title('Angle of Pendulum');
subplot(3,1,3);
cart_width = 0.2;
cart_height = 0.1;
pendulum_length = 1.0;
for i = 1:numel(tvec)
clf;
hold on;
plot([-5 5],[0 0],'k','LineWidth',2);
plot([xvec(i)-cart_width/2 xvec(i)+cart_width/2 xvec(i)+cart_width/2 xvec(i)-cart_width/2 xvec(i)-cart_width/2],...
[0 0 cart_height cart_height 0],'b','LineWidth',2);
pendulum_x = xvec(i) + pendulum_length*sin(thetaVec(i));
pendulum_y = pendulum_length*cos(thetaVec(i));
plot([xvec(i),pendulum_x],[0,pendulum_y],'r','LineWidth',3);
axis equal;
xlim([-5 5]);
ylim([-2 2]);
xlabel('Position (m)');
ylabel('Height (m)');
title(sprintf('Time=%.2f s', tvec(i)));
drawnow;
end
% 计算小车和摆杆的加速度
function [ddx, ddtheta] = compute_acceleration(x,dx,theta,dtheta,Fext,M,m,l,g)
% 计算拉格朗日方程的各项系数
a = M+m;
b = m*l*cos(theta);
c = -m*l*dtheta^2*sin(theta);
d = Fext+m*g*sin(theta);
% 解方程得到加速度
ddtheta = (d*a-b*dtheta^2*cos(theta))/(-b^2+a*c);
ddx = (d-b*ddtheta*cos(theta))/a;
end
运行上述代码后将会绘制出模拟结果。代码中,我们首先定义了系统参数和初始状态,并设置了仿真时间和时间步长。然后,我们使用欧拉-前向差分法对微分方程进行数值解,并绘制出小车和摆杆的运动轨迹(在第三个子图中)。