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本帖最后由 Messj 于 2018-6-8 23:34 编辑
题目:有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品有若干件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
这个问题和我01背包问题很相似,不同的是该问题中的物品每一件有若干件,而01背包中的每一件物品只有一件.
动态规划(DP):
1) 子问题定义:F[i][j]表示前i种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
2) 根据第i种物品放多少件进行决策,我们可以将该问题转化为01背包问题求解,对于特定的容量,每一件物品最多放V/C[i]件,然后按照01背包dp
可按照01背包的思路得出dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*need[i]]+k*value[i]);
基本解法:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=100;
int n,V;
int f[maxn][maxn];
int need[maxn],value[maxn];
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&V))
{
if(n<=0||V<=0)
break;
memset(f,0,sizeof(f));
memset(need,0,sizeof(need));
memset(value,0,sizeof(value));
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%%",&need[i],&value[maxn]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int v=need[i];v<=V;v++)
{
for(int k=1;k<=v/need[i];k++)
f[i][v]=max(f[i][v],f[i-1][v-k*need[i]]+k*value[i]);
}
}
}
return 0;
}
此刻的时间复杂度为O(VN*sum(v/Ci))
若两件物品满足C[i] ≤C[j]&&W[i] ≥W[j]时将第j种物品直接筛选掉。因为第i种物品比第j种物品物美价廉,用i替换j得到至少不会更差的方案。
这个筛选过程如下:先找出体积大于背包的物品直接筛掉一部分(也可能一种都筛不掉)复杂度O(N)。利用计数排序思想对剩下的物品体积进行
排序,同时筛选出同体积且价值最大的物品留下,其余的都筛掉(这也可能一件都筛不掉)复杂度O(V)。整个过程时间复杂度为O(N+V) |