[已解决]区间 gcd 与总和的和最大值问题，这个问题有点不会，望高人赐教，谢谢【重金悬赏】

zhangjinxuan

【重金悬赏】是吸引你点进来的，但是真的有重金悬赏。

这个题想了亿天了，决定来问亿问。
题目描述

给定一个长度为 n 的正整数序列 a，请找到两个数 l, r，使 gcd(a_l, a_l+1, ..., a_r) + a_l, a_l+1, ..., a_r 最大，输出 l, r，并且输出这个最大值。

gcd 表示最大公因数。

例如：

1. 4
   
2. 9 8 16 24

复制代码

输出：

1. 2 4
   
2. 56

复制代码

解释：gcd(8, 16, 24) + 8 + 16 + 24 = 56，这是最大的。

数据范围：

1 <= n <= 1000000

a 的所有元素都大于等于 1，小于等于 1000000。

---

想了很久也没有什么头绪，望高人赐教。

@陈尚涵 @额外减小 @tommyyu

成功解决者，额外赏 30 鱼币。

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Addy945

2026-5-30 22:54:00

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int MAXN = 1e6 + 5;
int a[MAXN];
ll pre[MAXN]; // 前缀和

int gcd(int a, int b) {
    while (b) a %= b, swap(a, b);
    return a;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        pre[i] = pre[i - 1] + a[i];
    }

    ll best = -1;
    int ansL = 1, ansR = 1;
    vector<pair<int, int>> cur; // (gcd, l)

    for (int r = 1; r <= n; ++r) {
        vector<pair<int, int>> tmp;
        tmp.emplace_back(a[r], r);

        // 合并前面的 GCD
        for (auto &p : cur) {
            int g = p.first;
            int l = p.second;
            int new_g = gcd(g, a[r]);
            if (!tmp.empty() && tmp.back().first == new_g) continue;
            tmp.emplace_back(new_g, l);
        }

        // 更新最优答案
        for (auto &p : tmp) {
            int g = p.first;
            int l = p.second;
            ll sum = pre[r] - pre[l - 1];
            ll now = sum + g;

            if (now > best) {
                best = now;
                ansL = l;
                ansR = r;
            }
        }

        cur.swap(tmp);
    }

    cout << ansL << " " << ansR << "\n";
    cout << best << "\n";
    return 0;
}

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sfqxx

不会，也不敢问 gpt

liuzhengyuan

一个区间可以包含整个吗？

zhangjinxuan

liuzhengyuan 发表于 2023-6-5 19:12
一个区间可以包含整个吗？

可以

zhangjinxuan

最近高考啊，现在冷清啊。

liuhongrun2022

不会

sfqxx

1. from collections import defaultdict
   
2. 
   
3. def factor_sieve(n):
   
4.     """
   
5.     返回一个list，表示小于等于n的所有数的最小质因子
   
6.     """
   
7.     sieve = [0] * (n + 1)
   
8.     for i in range(2, n + 1):
   
9.         if sieve[i] == 0:  # i是质数
   
10.             for j in range(i * i, n + 1, i):
    
11.                 if sieve[j] == 0:
    
12.                     sieve[j] = i
    
13.     return sieve
    
14. 
    
15. def get_factor_counts(sieve, x):
    
16.     """
    
17.     返回x的所有质因子的出现次数的和，如20=2*2*5，返回4+1=5
    
18.     """
    
19.     counts = defaultdict(int)
    
20.     while x > 1:
    
21.         prime = sieve[x]
    
22.         if prime == 0:
    
23.             prime = x
    
24.         counts[prime] += 1
    
25.         x //= prime
    
26.     return sum(counts.values())
    
27. 
    
28. n = int(input())
    
29. a = list(map(int, input().split()))
    
30. 
    
31. sieve = factor_sieve(max(a))
    
32. 
    
33. # 预处理每个数在各个质因子下的出现次数，放到二维数组counts中
    
34. counts = [[0] * len(sieve) for _ in range(n)]
    
35. for i in range(n):
    
36.     for j in range(len(sieve)):
    
37.         if a[i] % (j+1) == 0:
    
38.             counts[i][j] = get_factor_counts(sieve, a[i] // (j+1))
    
39. 
    
40. # 计算每个左端点和右端点的区间公因数及其总和，找到最大值
    
41. best_l, best_r, best_value = -1, -1, 0
    
42. for l in range(n):
    
43.     prod_counts = [0] * len(sieve)
    
44.     for r in range(l, n):
    
45.         for j in range(len(sieve)):
    
46.             prod_counts[j] += counts[r][j]
    
47.         # 计算当前区间的公因数及其总和
    
48.         factor = 1
    
49.         sum_of_divisors = 0
    
50.         for j in range(len(sieve)):
    
51.             if prod_counts[j] == r - l + 1:
    
52.                 factor *= (j+1)
    
53.             sum_of_divisors += prod_counts[j] * (j+1)
    
54.         value = factor + sum_of_divisors
    
55.         # 更新最大值
    
56.         if value > best_value:
    
57.             best_l, best_r, best_value = l, r, value
    
58. 
    
59. print(best_l+1, best_r+1)
    
60. print(best_value)

复制代码

额外减小

sfqxx 发表于 2023-6-5 22:15

强

sfqxx

额外减小 发表于 2023-6-6 00:10
强

不是我做的

zhangjinxuan

sfqxx 发表于 2023-6-5 22:15

时间复杂度怎么算

zhangjinxuan

sfqxx 发表于 2023-6-5 22:15

37 行，j 应该是第几个质数，所以不应该是 a[ i] % sieve[j] == 0 吗？

还有，你这样的时间复杂度是 n^2 啊，n^2 的算法很简单的。

我问 chatgpt 5 遍都是 n^2 算法

zhangjinxuan

额外减小 发表于 2023-6-6 00:10
强

他时间复杂度 n^2

zhenjen

a是正整数序列，最大的连续区间怎么理解？

zhenjen

使这个区间的公因数与总和的和的值最大
//使区间公因数的值最大。总和的值最大。
这题表达有问题（个人观点）

zhangjinxuan

zhenjen 发表于 2023-6-6 10:47
使这个区间的公因数与总和的和的值最大
//使区间公因数的值最大。总和的值最大。
这题表达有问题（个人观 ...

使这个区间的 最大公因数 与 数字总和 的和的值最大

zhangjinxuan

zhenjen 发表于 2023-6-6 10:47
使这个区间的公因数与总和的和的值最大
//使区间公因数的值最大。总和的值最大。
这题表达有问题（个人观 ...

行吧，还是用形式化的语言来说（

zhenjen

zhangjinxuan 发表于 2023-6-6 11:08
使这个区间的 最大公因数 与 数字总和 的和的值最大

问下，输出的2 4是什么意思？

zhangjinxuan

zhenjen 发表于 2023-6-6 11:14
问下，输出的2 4是什么意思？

就是 l, r

zhenjen

个人思路：1.找包含公因数的区间。h=gcd（）+包含公因数区间k，记录左右端点。n=h。2.加if（h＞n）更新记录点。3.重复
继续找包含公因数的区间与

zhangjinxuan

zhenjen 发表于 2023-6-6 11:27
个人思路：1.找包含公因数的区间。h=gcd（）+包含公因数区间k，记录左右端点。n=h。2.加if（h＞n）更新记录 ...

给定一个正整数序列 a，请找到两个数 l, r，使 gcd(al, al+1, ..., ar) + al, al+1, ..., ar 最大，输出 l, r，并且输出这个最大值。

gcd 表示最大公因数。