题目描述:
给定一个n个点的完全图,每个点都有一个权值。要求你选出一些点,使得这些点组成一个团,并且这些点的权值和最大。团的定义为:在无向图中,如果任意两个节点之间都有一条边相连,则这些点构成的子图称为团。
解题思路:
对于这道题目,我们可以使用状态压缩动态规划来解决,具体来说,可以按照以下步骤进行:
1. 枚举所有可能的团:对于任意两个节点i和j,如果它们之间有一条边相连,则将i和j标记为同一组;否则分别标记成不同的组。最终,在每个组中选择一个代表节点,即可得到所有可能的团。
2. 状态压缩动态规划:定义一个二维数组dp[state][i],其中state表示当前已经选取的点的状态,i表示代表当前状态的点。dp[state][i]表示在已选取状态state中,以代表点i为结尾的团的最大权值和。
- 初始化:对于只有一个点的情况,dp[1<<i][i] = weight[i]。
- 状态转移:对于每个状态state,我们可以枚举下一个点j,如果j不在state中并且与代表点k都有边相连(其中k是state中的一个点),则状态转移为dp[state|(1<<j)][j] = max(dp[state|(1<<j)][j], dp[state][k] + weight[j])。
3. 最大权值和:在所有状态中,找到以任意节点i为结尾的团的最大权值和,即max(dp[(1<<n)-1][i])。
伪代码实现:int clique_weight(vector<int>& weight, vector<vector<bool>>& adj) { int n = weight.size(); int dp[(1<<n)][n]; vector<int> groups(n); // 将所有节点分组 // 枚举所有可能的团 int cnt = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { if (groups[i] == 0) { cnt++; groups[i] = cnt; for (int j = i+1; j < n; j++) { if (adj[i][j] && groups[j] == 0) { groups[j] = cnt; } } } } // 动态规划求解最大权值和 for (int i = 0; i < (1<<n); i++) { fill(dp[i], dp[i]+n, -INT_MAX); } for (int i = 0; i < n; i++) { dp[1<<i][i] = weight[i]; } for (int state = 1; state < (1<<n); state++) { for (int i = 0; i < n; i++) { if (state & (1<<i)) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (!(state & (1<<j)) && adj[i][j] && groups[i] == groups[j]) { int k = __builtin_ctz(state); dp[state|(1<<j)][j] = max(dp[state|(1<<j)][j], dp[state][k] + weight[j]); } } } } } // 找到所有方案中最大的权值和 int ans = -INT_MAX; for (int i = 0; i < n; i++) { ans = max(ans, dp[(1<<n)-1][i]); } return ans;}
上述伪代码实现中,groups数组用于将所有节点分组,方便后续判断团中节点是否相连。__builtin_ctz(x)函数返回二进制表示下x的末尾0的个数,即x中最低位1之前的0的个数。
希望这个解题思路能够帮助到你,如果有任何疑问,请随时向我提问。
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