等比数列

小甲鱼

等比数列

等比数列是数学中的一种常见序列，在数学分析、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

它具有一个特定的特征：序列中任何相邻两项的商是常数。这个常数被称为等差数列的公比，通常用字母 $q$ 表示。


定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的商都等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。

比如：2, 4, 8, 16, 32, ...


通式

等比数列的第 n 项的一般形式可以表示为：

$a_n = a_1 \times q^{(n-1)}$

其中：

• $a_1$ 是数列的第 1 项
• $a_n$ 是数列的第 n 项
• $q$ 是公比
• $n$ 是项数
  

性质

等比数列有几个重要性质：

• 任意项除以它的前一项都等于公比，即 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$
• 任何一项都可以看作是第一项乘以公比的 n - 1 次幂
• 等比数列的任何一项的平方都等于它前后两项的乘积，即 $a^2_n = a_{n-1} \times a_{n+1}$（当 $q \neq 0$ 时成立）
  

求和公式

等比数列的前 n 项和 $S_n$ 有两种情况，取决于公比 $q$ 的值：

当 $q = 1$ 时，所有项都相等，前 n 项和就是：$S_n = n \times a_1$

当 $q \neq 1$ 时，前 n 项和的公式为：$S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1-q}$


推导过程

现在让我们一起来推到 $q \neq 1$ 时的求和公式~

设 $S_n$ 为前 n 项的和：

$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{n-2} + a_1q^{n-1}$

我们将上述等式两边同时乘以公比 $q$：

$S_nq = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots + a_1q^{n-1} + a_1q^{n}$

然后我们将这两个等式相减：

$S_n - S_nq = a_1 - a_1q^n$

提取公因子得到：

$S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)$

最后，我们将两边同时除以 $(1 - q)$，得到：

$S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$


例子

假设有一个等比数列，其中第一项 $a_1 = 2$，公比 $q = 3$。

找出前 5 项：

$a_1: a_1 = 2$
$a_2: a_1 \times q = 2 \times 3 = 6$
$a_3: a_1 \times q^2 = 2 \times 3^2 = 18$
$a_4: a_1 \times q^3 = 2 \times 3^3 = 54$
$a_5: a_1 \times q^4 = 2 \times 3^4 = 162$

计算前 5 项之和：

可以直接使用求和公式 $S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$ 进行计算：

$S_5 = a_1 \times \frac{1 - q^5}{1 - q} = 2 \times \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 242$