在分式方程(x+1)/(x-1)-4/(x**2-1)=1求不同解的原因

stumblemodel

(x+1)/(x-1)-4/(x**2-1)=1
常规解法,去分母,得到x=1,是增根
但如果左边先通分,然后通分后分子平方差公式,右边变成1/1的形式,再交叉相乘,却算出1=3,x系数为0
这两种方法都是对的,都算出无解
但为什么一个有增根,一个算不出来增根
无解的方式还不一样?

FishC

这是一个有趣的问题！让我们来探讨一下。

首先，我们将通过常规解法和通分解法两种方法解决这个方程。我们先来看看常规解法。

常规解法：
我们开始将左边的分式进行通分：
[(x+1)(x+1)-4(x-1)]/(x-1)(x+1) = 1
展开并简化分子：
[x^2 + 2x + 1 - 4x + 4]/(x^2 - 1) = 1
合并同类项：
[x^2 - 2x + 5]/(x^2 - 1) = 1
现在我们可以去分母：
x^2 - 2x + 5 = x^2 - 1
这个方程的变量项是被消掉了，所以我们得到了一个矛盾的等式：5 = -1。因此，没有解。

接下来我们看看通分解法：

通分解法：
首先，我们将左边的分式通分：
[(x+1)(x+1) - 4(x-1)] / [(x-1)(x+1)] = 1
展开并简化分子：
[x^2 + 2x + 1 - 4x + 4] / [(x-1)(x+1)] = 1
合并同类项：
[x^2 - 2x + 5] / [(x-1)(x+1)] = 1
这一步我们稍微做一个小技巧，我们把等式右边的1化简为 1/1，这样我们可以很方便地使用分数除法原理。我们交叉相乘：
[x^2 - 2x + 5] = 1*(x-1)(x+1)
展开右边：
x^2 - 2x + 5 = (x-1)(x+1)
继续展开：
x^2 - 2x + 5 = x^2 - 1
现在可以消去变量项：
-2x + 5 = -1
解这个方程得到 x = 3/2。

所以，在通分解法中，我们得到了一个解 x = 3/2。但我们需要注意，通过通分解法得到的解只是一个特殊情况，不是一般解。因为我们在通分解法中进行了一些化简，可能导致忽略掉一些原本存在的解。

综上所述，常规解法和通分解法在处理这个方程时得到了不同的解，这是因为通分解法在化简过程中可能会丢失某些解。在编程中，我们应该始终记住这一点，并选择合适的方法来解决问题。

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python爱好者.

FishC 发表于 2024-1-21 12:21
这是一个有趣的问题！让我们来探讨一下。

首先，我们将通过常规解法和通分解法两种方法解决这个方程。我 ...

通分第一步就错了

FishC

python爱好者. 发表于 2024-01-21 13:55
通分第一步就错了

非常抱歉，我之前提到的通分解法的计算出现了错误。感谢你的指正！让我重新为你解释正确的通分解法：我们开始将左边的分式进行通分：

(x+1)/(x-1) - 4/(x^2-1) = 1

首先，我们将第一个分数的分母展开：

(x+1)/(x-1) - 4/((x-1)(x+1)) = 1

接下来，我们可以将两个分数合并成一个分数：

(x+1 - 4)/(x-1)(x+1) = 1

简化分子：

(x-3)/(x-1)(x+1) = 1

现在，我们可以去分母：

x-3 = (x-1)(x+1)

展开右边的括号：

x-3 = x^2 - 1

将所有项移至一边：

x^2 - x - 2 = 0

现在，我们可以尝试解这个方程。我们可以使用一些方法，例如因式分解、配方法或求根公式。在这种情况下，我们可以使用因式分解来找到解。我们将方程分解为两个因子：

(x-2)(x+1) = 0

得到两个解：x=2和x=-1。

所以，在正确的通分解法中，我们得到了两个解x=2和x=-1。希望这次解答更加准确！非常抱歉之前的错误给您带来的困惑。

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python爱好者.

FishC 发表于 2024-1-21 13:55
非常抱歉，我之前提到的通分解法的计算出现了错误。感谢你的指正！让我重新为你解释正确的通分解法：我 ...

错了，重来

FishC

python爱好者. 发表于 2024-01-21 13:57
错了，重来

非常抱歉给您带来困扰，让我再次为您解答这个问题。

我们来重新解这个方程 (x+1)/(x-1) - 4/(x**2-1) = 1。

首先，我们将左边的分式进行通分，分母因式分解为 (x-1)(x+1)：

(x+1)/(x-1) - 4/[(x-1)(x+1)] = 1

通分后，我们可以将两个分数合并为一个分数：

[(x+1) - 4]/[(x-1)(x+1)] = 1

简化分子：

(x - 3)/[(x-1)(x+1)] = 1

现在，我们可以去分母，得到：

x - 3 = (x-1)(x+1)

展开右边的括号：

x - 3 = x**2 - 1

将所有项移至一边，得到：

x**2 - x - 2 = 0

现在，我们尝试解这个二次方程。可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法。通过观察，我们可以将方程分解为：

(x - 2)(x + 1) = 0

得到两个解：x = 2 和 x = -1。

所以，正确的解是 x = 2 和 x = -1。

非常抱歉之前的回答有误，希望这次的解答能够帮到您！如有任何其他问题，请随时提问。

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python爱好者.

FishC 发表于 2024-1-21 13:57
非常抱歉给您带来困扰，让我再次为您解答这个问题。

我们来重新解这个方程 (x+1)/(x-1) - 4/(x**2-1 ...

还是算错了，少了平方

FishC

python爱好者. 发表于 2024-01-21 13:58
还是算错了，少了平方

非常抱歉，我再次犯了错误。让我们重新解决这个问题 (x+1)/(x-1) - 4/(x**2-1) = 1。我们将左边的分式通分，并展开简化：

(x+1)/(x-1) - 4/(x**2-1) = 1
(x+1)/((x-1)*(x+1)) - 4/((x-1)*(x+1)) = 1
(x+1 - 4)/((x-1)*(x+1)) = 1
(x - 3)/((x-1)*(x+1)) = 1

现在我们可以去分母，得到：

x - 3 = (x-1)*(x+1)

展开右边的乘法，得到：

x - 3 = x**2 - 1

将所有项移至一边，得到：

x**2 - x - 2 = 0

现在，我们尝试解这个二次方程。可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法。通过观察，我们可以将方程因式分解为：

(x - 2)(x + 1) = 0

得到两个解：x = 2 和 x = -1。

非常抱歉之前的回答仍然有误，请忽略之前的回答。希望这次的解答能够正确地回答您的问题。如有任何其他问题，请随时提问。

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小甲鱼的二师兄

正确的处理方式应该是在做任何操作前先确定解不会使分母为零，这样才能确保解的有效性。

stumblemodel

小甲鱼的二师兄 发表于 2024-1-22 04:33
正确的处理方式应该是在做任何操作前先确定解不会使分母为零，这样才能确保解的有效性。

分式方程只有解出来才知道有没有解,有些分式方程的解可以使分母为0,这个不成立的解就是增根,就是无解,未知数系数最终为0,也是无解,这道题通过两种不同的方法,可以得到两种无解,(鱼cAI)算的是错的,为什么先通分,利用平方差就会使方程算不出增根,fishc说增根是因为乘以了值为0的式子,使不成立的等式强行成立,而通分的方法在最后一步交叉相乘时,就是一种去分母,带入增根他的值就是0,但为什么到最后未知数系数会得到0,换了一种无解的方式,丢失增根的具体原理是什么

python爱好者.

tommyyu

stumblemodel 发表于 2024-1-22 18:51
分式方程只有解出来才知道有没有解,有些分式方程的解可以使分母为0,这个不成立的解就是增根,就是无解,未 ...

增根的原理大体上有两种，一是两边同时平方导致增根，二是两边同时乘上 0 导致增根。所以只要没有类似的操作就不会导致增根。

stumblemodel

tommyyu 发表于 2024-2-5 10:22
增根的原理大体上有两种，一是两边同时平方导致增根，二是两边同时乘上 0 导致增根。所以只要没有类似的 ...

我进行了同时乘0,在交叉相乘,那一步乘以的数是0,就是分母