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本帖最后由 三体人的智子 于 2024-7-16 08:48 编辑
北大招生压轴题 （非常烧脑 ）
$x+y+z=1$
$x^2+y^2+z^2=2$ 等式1
$x^3+y^3+z^3=3$ 等式2
求$x^5+y^5+z^5=$? 等式3
该题可以用高中数列的方法解，但本人毕竟是个初中生 ，将用初中的方法来讲解这道题。简单，通俗，但稍微有点复杂
将等式1平方$（x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=1$
注意到$x^2+y^2+z^2=2$,所以$2（xy+yz+xz）=1-2=-1$,所以$xy+yz+xz=-1/2$ 等式4
将等式1立方$（x+y+z）^3=x^3+y^3+z^3+6xyz+3x^2(y+z)+3y^2(x+z)+3z^2(x+y)=x^3+y^3+z^3+6xyz+3x^2(1-x)+3y^2(1-y)+3z^2(1-z)=1$ 等式5，这步挺难，需要慢慢推导
注意到下$x^3+y^3+z^3=3,所以6xyz+3x^2(1-x)+3y^2(1-y)+3z^2(1-z)=-2$
【观察】：$3x^2(1-x)=3x^2-3x^3,3y^2(1-y)=3y^2-3y^3,3z^2(1-z)=3z^2-3z^3$
所以等式5（变形）：$6xyz+3x^2-3x^3+3y^2-3y^3+3z^2-3z^3=-2$
$6xyz+3x^2+3y^2+3z^2=-2+3x^3+3y^3+3z^3 $ 注： $x^2+y^2+z^2=2,x^3+y^3+z^3=3$
$6xyz+3*2=-2+3*3$
$6xyz=1$
$xyz=1/6 $ 等式6
接下来，重点！！！（敲黑板）
$(x^2+y^2+z^2)^2=2^2=4$
拆开： $x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2=4$
$x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+x^2z^2+2y^2z^2)=4$
难点变形 ： $x^4+y^4+z^4+2[(xy+xz+yz)^2-2x^2yz-2xy^2z-2xyz^2]=4$ 等式4，6代入
$x^4+y^4+z^4+2[(-1/2)^2-2xyz(x+y+z)]=4$
$x^4+y^4+z^4+2[1/4-2*1/6]=4$
$x^4+y^4+z^4+1/2-2/3=4$
$x^4+y^4+z^4+-1/6=4$
$x^4+y^4+z^4=25/6 $ 如果你坚持看到了这里，那么告诉你个好消息 ，我们的任务完成一大半了，最后一哆嗦就大功告成！
$（x^4+y^4+z^4）*（x+y+z）=25/6*1=25/6$
拆开： $ x^5+y^5+z^5+x^4y+x^4z+xy^4+y^4z+xz^4+yz^4=25/6$
$x^5+y^5+z^5+xy(3-z^3)+xz(3-y^3)+yz(3-x^3)=25/6$
$x^5+y^5+z^5+3xy-xyyz^3+3xz-xy^3z+3yz-x^3yz=6/25$
$x^5+y^5+z^5+3(xy+xz+yz)-xyz(x^2+y^2+z^2)=25/6$ 等式2，4，6代入
$x^5+y^5+z^5+3*(-1/2)-1/6*2=25/6$
$x^5+y^5+z^5+(-3/2)-1/3=25/6$
$ x^5+y^5+z^5+=25/6+3/2+1/3$
$x^5+y^5+z^5=6$
终于解完了，花了我三个小时
解这道题的关键是导出等式4，5，6，通过不断推导，问题的答案也就迎刃而解了
问题思考（变式）：如果题目变成$x+y+z=1$,$x^3+y^3+z^3=3$,$x^5+y^5+z^5=5$,问：$x^2+y^2+z^2=?,x^4+y^4+z^4=$?
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狗仔卡
发表于 2024-2-21 21:26:07
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千斤顶
显身卡
楼主
发表于 2024-2-21 21:37:01
