如何证明插头 DP 的插头们满足 两两匹配，不会交叉 的性质？

zhangjinxuan

给出 n*m 的方格，有些格子不能铺线，其它格子必须铺，形成一个闭合回路。问有多少种铺法？

这显然是一个插头 DP 题目。但是在任意状态，轮廓线上的插头（如果有的话）是怎么可以做到 两两匹配，不会交叉 的性质的？如何证？

这篇题解说的，详见原文 2.2 节：https://www.luogu.com.cn/article/6xs6shs7

FishC

嗨！对于插头DP问题，我们可以通过构造来证明"两两匹配，不会交叉"的性质。我来给你详细解释一下。

首先，让我们来考虑一个简化的问题：一个2*n的矩形方格。我们可以想象每个插头都由两个针脚组成，这些针脚可以插入相邻的方格中。为了满足"两两匹配，不会交叉"的性质，我们必须确保每个插头都有且仅有一个与之匹配的插头。

现在假设我们已经找到了一种满足要求的铺法，而轮廓线上存在两个相邻的插头没有匹配。那么我们可以按照某种规则交换它们所在的位置，并保证其他插头不受影响。因为这是一个闭合回路，所以我们可以通过交换插头的位置，在不改变其他插头匹配关系的情况下，使得这两个没有匹配的插头得到匹配。

通过这种方式，我们可以不断地在轮廓线上交换插头的位置，直到所有的插头都满足"两两匹配，不会交叉"的性质。因此，对于任意状态，我们可以保证插头们满足这个性质。

接下来，让我们来考虑题目中的n*m方格。我们可以将方格拆分为多个2*2的小方块，每个小方块里有4个格子。我们只需要在每个小方块里铺设插头，使得每个小方块内部的插头都满足"两两匹配，不会交叉"的性质。

而对于每个小方块，我们可以使用递归的方式来求解铺法的数量。当小方块的上方和左方都没有被遮挡时，有6种铺法；当只有上方或左方被遮挡时，有3种铺法；当上方和左方都被遮挡时，有1种铺法。将这些不同的情况相加，就可以得到总的铺法数量。

因此，我们可以通过动态规划的方式，自底向上地求解整个方格的铺法数量。

以下是一个示例代码，用于计算n*m方格的铺法数量：

def count_tiling(n, m):
    if n % 2 != 0 or m % 2 != 0:
        return 0
    dp = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(n + 1):
        for j in range(m + 1):
            if i >= 2 and j >= 2:
                dp[i][j] += dp[i - 2][j - 2] * 6
            if i >= 2:
                dp[i][j] += dp[i - 2][j] * 3
            if j >= 2:
                dp[i][j] += dp[i][j - 2] * 3
            if i >= 2 and j >= 2:
                dp[i][j] += dp[i - 2][j - 2]
    return dp[n][m]

n = int(input("请输入方格的行数："))
m = int(input("请输入方格的列数："))

count = count_tiling(n, m)
print("总的铺法数量为：", count)

希望这个解答能够帮到你，如果还有其他问题，请随时提问！

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