一次性讲清楚IEEE 754浮点数标准

小甲鱼

一次性讲清楚IEEE 754浮点数标准

缘起

下面是一个典型的 JavaScript 精度误差：

> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

类似 0.1 + 0.2 结果不完全等于 0.3 的编程语言不仅仅限于 JavaScript。

实际上，大多数现代编程语言在处理浮点数时都会遇到类似的问题，C、C++、JAVA、Python、Go…… 都如此，谁也别笑谁~

究其原因，是因为这些语言通常都使用 IEEE 754 标准来表示浮点数，而这个标准在表示某些十进制小数时存在精度限制问题。


借此机会，小甲鱼顺便给大家一次性讲清楚 IEEE 754 浮点数标准的前世今生，及具体的实现原理。

注意：本篇文章非必学的内容，不掌握也不会影响你成为 JavaScript 大拿！


IEEE 754 的前世今生

在 IEEE 754 标准出现之前，不同的计算机系统使用各自不同的方法来处理浮点数。

不难想象，这种 “你用你的标准，我用我的标准” 的情况必将导致程序的浮点数处理混乱和不一致。

为了解决这个问题，国际电气与电子工程师协会（Institute of Electrical and Electronics Engineers，IEEE）启动了一个标准化项目，旨在制定一个通用的浮点数运算标准。

于是，IEEE 754 标准在 1985 年被正式采纳，这个标准不仅规定了浮点数的格式，还涵盖了运算规则、异常处理、舍入方式等多个方面。

不要小看这个标准，该标准的主要贡献者威廉·卡汉（William Kahan）因此直接获得了图灵奖（计算机界的诺贝尔奖）。


浮点数的表示

在 IEEE 754 标准中，浮点数可以通过下面公式来描述：

$V = (-1)^{S} \times M \times 2^{E}$

该公式包括三个主要部分：符号位（S）、指数位（E，也成为阶码位）和尾数位（M，也称为小数位或效数字位）。

符号位（Sign bit）

符号位决定了该浮点数的正负值，0 代表正数，1 代表负数：

• $(-1)^{0} = 1$
• $(-1)^{1} = -1$
  

指数位（Exponent）

指数位用于表示浮点数的指数部分，但它存储的不是直接的指数值，而是一个偏移量（或称为偏置）表示的值。

• 在单精度（32 位浮点数）中，指数是 8 位，偏移量为 127。
• 在双精度（64 位浮点数）中，指数是 11 位，偏移量为 1023。
  

真实的指数值为存储的值减去偏移量的结果（请参考下面 “规格化数” 中的计算演示）。

尾数位（Mantissa）

尾数部分存储浮点数的实际数字（或称为有效数字），不包括数字序列中最左边的 1（对于规格化数）。

这意味着浮点数的精度可以得到增加，因为存储空间用于表示更多的有效数字。

在单精度中，尾数位占 23 位，在双精度中占 52 位。


由于 JavaScript 采用的是双精度浮点数格式（64 位），所以在内存中浮点数的封装如下：



燃鹅，这里并不是直接用二进制表示各个字段的值，不然小甲鱼就不用写这篇文章了……

下面内容比较复杂，请做好心理准备，再次强调：非必学的内容，看不懂也没关系。




浮点数的分类

根据指数位和尾数位的不同组合，IEEE 754 定义了 4 种类型的值：规格化数、非规格化数、无穷大和 NaN。


规格化数（Normalized Numbers）

绝大多数浮点数在 IEEE 754 标准中确实是以规格化数的形式存储的。

当指数位不全为 0 或不全为 1 时，浮点数被称为规格化数。

这种数有一个隐含的最高位 1（即 1.XXXXX 的形式）。

对于规格化的数，浮点数的表示遵循以下形式：

$V = (-1)^{S} \times 1.XXXXX \times 2^{E}$

这里使用 1.XXXXX 尾数部分所表示的小数（在二进制下），例如尾数位为 101100...0（总共 52 位），则 M = 1.101100...0（二进制）

假设我们有一个双精度浮点数，其位模式如下：

0100000001101000000000000000000000000000000000000000000000000000

让我们来分解这 64 位的值：

• 符号位（S）-> 0 -> 正数
• 指数位（E）-> 10000000110 -> 二进制转换为十进制得到 1030 -> 实际指数是 1030 - 1023 = 7
• 尾数位（M）-> 1000000000000000000000000000000000000000000000000000 -> 二进制小数为 1.1000000000000000000000000000000000000000000000000000（这里有一个隐含的最高位 1）-> 1.1 转换为十进制数 -> $2^{0} + 2^{-1} = 1.5$
  

提示 1：指数位它存储的不是直接的指数值，而是一个偏移量（或称为偏置）表示的值，64 位浮点数的偏移量为 1023。

提示 2：关于进制转换可以看下这篇 -> 深入浅出进制转换。

因此，这个数值是：

$V = (-1)^{0} \times 1.5 \times 2^{7} = 1 \times 1.5 \times 128 = 192.0$


非规格化数（Denormalized Numbers）

在 IEEE 754 标准中引入非规格化数的主要目的是为了填补 0 和最小的规格化数之间的数值空白。

非规格化数能够显著扩展浮点数系统可以表示的数值范围，尤其是在数值非常非常小的场景下。

非规格化数的特点是指数位全为 0（即二进制表示为 00000000000），而尾数位不全为 0。


假设我们有一个双精度浮点数，其位模式如下：

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

让我们来分解这 64 位的值：

• 符号位（S）-> 0 -> 正数
• 指数位（E）-> 00000000000 -> 非规格化数的标记
• 尾数位（M）-> 0000000000000000000000000000000000000000000000000001
  

对于非规格化数来讲，指数计算是：$E = 1 - 偏移量$，

64 位偏移量是 1023，所以指数部分为 $2^{1 - 1023} = 2^{1022}$。

尾数位只有最低位是 1，所以尾数值是 $2^{-52}$。

因此，最终结果是：

$V = (-1)^{0} \times 2^{-52} \times 2^{-1022} = 2^{-1074}$

这个值是极其接近于零的正数，展示了非规格化数能够表示非常小的数值，从而增加了浮点数系统的动态范围。


无穷大（Infinity）

无穷大在双精度浮点数中的表示如下：

• 符号位（S）-> 0 表示正无穷大（Infinity），1 表示负无穷大（-Infinity）
• 指数位（E）-> 11111111111（全部为 1）
• 尾数位（M）-> 0000000000000000000000000000000000000000000000000000（全部为 0）
  

正无穷大：

0111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000

负无穷大：

1111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000


非数值（NaN）

NaN 用于表示未定义的或无法表示的数值结果。

它有两种形式：静默 NaN（quiet NaN）和信号 NaN（signaling NaN）。

• 符号位（S）-> 可以是 0 或 1，但通常对 NaN 的解释不依赖于符号位
• 指数位（E）-> 11111111111（全部为 1）
• 尾数位（M）-> 不全为 0（至少有一个位是 1）
  

静默 NaN 通常在尾数的最高位设为 1（确保它是静默的）：

0111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000

信号 NaN 的尾数位通常不同，具体取决于系统的实现：

0111111111110100000000000000000000000000000000000000000000000000


实战

1. 如何使用 IEEE 754 保存 3 这个整数？

对于正整数 3，符号位的值是 0。

将 3 转换为二进制是 $3_{(10)} = 11_{(2)}$，由于规格化数有一个隐含的 1（即 1.XXXXX），因此：

$3_{(10)} = 11_{(2)} = 1.1 \times 2^{1}$

从而得到尾数位的值是 1000000000000000000000000000000000000000000000000000

指数是 1，但指数位的计算需要考虑偏移量，64 位的偏移量是 1023，所以指数位存放的值则应该是：

$1 + 1023 = 1024_{(10)} = 10000000000_{(2)}$

最终的二进制表示是：

0100000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000


2. 如何使用 IEEE 754 保存 3.14 这个小数？

对于正数 3.14，符号位的值是 0。

将 3.14 转换为二进制表示涉及到整数部分和小数部分的转换~

整数部分 3 转换为二进制是：

$3_{(10)} = 11_{(2)}$

小数部分 0.14 转换为二进制：

• 0.14 * 2 = 0.28 取整数部分 0
• 0.28 * 2 = 0.56 取整数部分 0
• 0.56 * 2 = 1.12 取整数部分 1
• 0.12 * 2 = 0.24 取整数部分 0
• 0.24 * 2 = 0.48 取整数部分 0
• 0.48 * 2 = 0.96 取整数部分 0
• 0.96 * 2 = 1.92 取整数部分 1
• 0.92 * 2 = 1.84 取整数部分 1
• ...
  

如果继续算下去，会发现 0.14 的二进制表示实际上是一个无限循环的小数（小甲鱼：得算到第 41 次，这里就列长龙了……）

将整数和小数部分的二进制结果合并后得到：

$3.14_{(10)} \approx 11.0010001111010111000010..._{(2)} = 1.10010001111010111000010... \times 2^{1}$

指数是 1，但指数位的计算需要考虑偏移量，64 位的偏移量是 1023，所以指数位存放的值则应该是：

$1 + 1023 = 1024_{10} = 10000000000_{2}$

由于是无线循环，尾数位需要截断到 52 位：

1001000111101011100001010001111010111000010100011110101110000100

最终的二进制表示是：

0100000000001001000111101011100001010001111010111000010100011110101110000100


灵魂拷问

1. 为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3 呢？

游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复

2. Number.MAX_VALUE 和 Number.MIN_VALUE 的值是为什么是 1.7976931348623157e+308 和 5e-324？

游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复

3. Number.MAX_SAFE_INTEGER 和 Number.MIN_SAFE_INTEGER 的值是为什么是 9007199254740991 和 -9007199254740991？

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某一个“天”

clollipops

似懂非懂

zhae89

又学到新知识了

ABitGinger

深奥的知识又增加了

happycarl

学习学习

lu10086

又学到了

疯狗马德森

本来会  学完了感觉不会了

忘川hd

好好学习

神荼Q

IEEE国际电气与电子工程师协会。前几天刚知道这个协会，全英文的网站看着是真的懵。虽然这篇文章看着也有点懵吧，但是至少能看懂那么一点点

想个好名字@

新知识有点太深奥了

天空之算法

比较深奥

13351890899

打卡成功了

向尚的小六

又学到了

赵晨申

学习新知识，不断进步，加油！

画风华

加油！继续学习！前进！

yasi

很深奥，需要好好钻研一下

格子penbeat

又涨新知识了

spt1314

虽然还不是很懂但是感觉涨姿势了

泼墨染笛香

所以金融类数据存储要注意