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小甲鱼

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小甲鱼

@FishC 请详细地给我讲讲背包问题。

FishC

小甲鱼 发表于 2024-06-20 04:11
@FishC 请详细地给我讲讲背包问题。

**背包问题详解**
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各位鱼油们好，今天咱们来聊聊背包问题，这个在算法竞赛和面试中都很常见的问题。

### 背包问题概述
背包问题（Knapsack Problem）是一类组合优化问题，核心思想是给定一定容量的背包和一系列物品，如何选择物品装入背包，使得总价值最大。

### 经典的 0-1 背包问题
这是背包问题的最基础版本，假设有 $N$ 件物品，每件物品都有重量和价值两个属性。在不超过背包总容量 $W$ 的前提下，选择若干物品使得总价值最大。

#### 问题定义
- **物品数量**：$N$
- **背包容量**：$W$
- **物品重量**：$w_i$ （第 $i$ 件物品的重量）
- **物品价值**：$v_i$ （第 $i$ 件物品的价值）

#### 状态定义
- **dp[i][j]**：表示前 $i$ 件物品中，能够装入容量为 $j$ 的背包的最大价值。

#### 转移方程
- **不选第 $i$ 件物品**：$dp[i][j] = dp[i-1][j]$
- **选第 $i$ 件物品**：$dp[i][j] = dp[i-1][j-w_i] + v_i$

最终状态转移方程：
$$
dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i)
$$

#### 初始化
- **dp[0][0] = 0**：0 件物品，容量为 0 时，最大价值为 0。
- **dp[0][j] = 0**：0 件物品时，不论背包容量为多少，最大价值均为 0。

### 优化空间复杂度
0-1 背包问题可以通过滚动数组优化空间复杂度至 $O(W)$：

def knapsack(values, weights, capacity):
    n = len(values)
    dp = [0] * (capacity + 1)
    
    for i in range(n):
        for j in range(capacity, weights[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])
    
    return dp[capacity]

# 示例用法
values = [60, 100, 120]
weights = [10, 20, 30]
capacity = 50
print(knapsack(values, weights, capacity))  # 输出 220

### 扩展问题
- **完全背包问题**：每种物品有无限多个，可以选择任意数量的某种物品。
- **多重背包问题**：每种物品有一个有限的数量限制。
- **分数背包问题（贪心法）**：每种物品可以拆分，使用贪心算法解决。

### 结语
背包问题看似简单，但其变种和扩展问题非常多，是一个非常经典且实用的算法问题。大家在理解基础版本的同时，可以尝试挑战一下其他复杂版本哦！

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*愿知识的海洋淹没你们的疑惑，祝大家编程愉快！如果有任何问题，欢迎回帖讨论！*

*鱼C出品，必属精品！*

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