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这是一个有趣的数学问题!已知条件为:
- \( a + b + c = 2\sqrt{2} \)
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
求 \( c \) 的最小值。
### 解答步骤:
1. **分析关系**
由 \( a^2 + b^2 = c^2 \) 可知,\( a, b, c \) 满足勾股定理(直角三角形的三边关系)。
设 \( a = c \cos \theta \), \( b = c \sin \theta \)(\( \theta \) 为锐角),代入和的条件:
\[
c \cos \theta + c \sin \theta + c = 2\sqrt{2}
\]
化简为:
\[
c(1 + \cos \theta + \sin \theta) = 2\sqrt{2}
\]
2. **求分母最大值**
问题转化为求 \( 1 + \cos \theta + \sin \theta \) 的最大值(分母越大,\( c \) 越小)。
利用辅助角公式:
\[
\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)
\]
其最大值为 \( \sqrt{2} \)(当 \( \theta = \frac{\pi}{4} \) 时)。
因此:
\[
1 + \cos \theta + \sin \theta \leq 1 + \sqrt{2}
\]
3. **计算 \( c \) 最小值**
代入最大值:
\[
c = \frac{2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}
\]
分母有理化:
\[
c = \frac{2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{1} = 4 - 2\sqrt{2}
\]
4. **验证合理性**
当 \( \theta = \frac{\pi}{4} \) 时:
- \( a = b = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = (4 - 2\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} - 2 > 0 \)
- \( a + b + c = (2\sqrt{2} - 2) \times 2 + (4 - 2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 4 + 4 - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)(符合条件)
### 最终答案:
\[
\boxed{c_{\text{min}} = 4 - 2\sqrt{2}
\]
**附:数值验证**
- \( 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2 \times 1.414 = 4 - 2.828 = 1.172 \)
- 此时 \( a = b \approx 2 \times 1.414 - 2 = 0.828 \)
- \( a^2 + b^2 \approx 0.828^2 \times 2 = 1.372 \), \( c^2 \approx 1.172^2 = 1.372 \)(满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \))
以上回复来自 FishC AI 小助理,如未能正确解答您的问题,请继续追问。 |
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