[心之碎片] - 图的连通性

柿子饼同学

专题包括
点双, 边双, 强连通分量, 圆方树

需要注意的是这些割点割边强连通分量的判定方式不要搞混
SCC 序很重要, 有时候不需要建新图, 可以直接通过 SCC 编号来看, SCC 小的是在底下找到的, 大的是在上面找到的
遇到连通性相关要考虑这些算法进行简化, 别忘了线段树优化建图等等辅助
思想就是把图变成树, 做树上问题

有向图的 SCC (强连通分量)

模板

1. void Tarjan(int u) {
   
2.     low[u] = dfn[u] = ++tot;
   
3.     stk[++top] = u;
   
4.     instk[u] = 1;
   
5. 
   
6.     for (auto v : e[u]) {
   
7.         if (!dfn[v]) {
   
8.             Tarjan(v);
   
9. 
   
10.             low[u] = min(low[u], low[v]);
    
11.         } else if (instk[v])
    
12.             low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    
13.     }
    
14. 
    
15.     if (low[u] == dfn[u]) {
    
16.         int v;
    
17.         scc++;
    
18. 
    
19.         while (1) {
    
20.             v = stk[top--];
    
21.             instk[v] = 0;
    
22.             id[v] = scc;
    
23.             if (v == u)
    
24.                 break;
    
25.         }
    
26.     }
    
27. }

复制代码

一般就是用来缩点然后把图变成 DAG 的, 可以跑 dp 或者别的
G - 拿钱走人
给个点条边的有向图，每个点有一些钱，当你经过这个点时可以拿走这些钱。
现在有一个起点和多个终点，你需要从起点出发，在某个终点结束，并且带走尽量多的钱，问你最多能带走多少钱？

缩点然后拓扑排序跑 dp

1. #include <bits/stdc++.h>
   
2. using namespace std;
   
3. 
   
4. const int N = 5e5 + 5;
   
5. 
   
6. vector<int> e[N], g[N];
   
7. 
   
8. int n, m, p, s;
   
9. int dfn[N], low[N], tot;
   
10. int stk[N], top;
    
11. bitset<N> instk, ised;
    
12. int val[N], cnt, id[N];
    
13. int arr[N], f[N];
    
14. 
    
15. void Tarjan(int u) {
    
16.     dfn[u] = low[u] = ++tot;
    
17.     stk[++top] = u;
    
18.     instk[u] = 1;
    
19. 
    
20.     for (auto v : e[u]) {
    
21.         if (!dfn[v]) {
    
22.             Tarjan(v);
    
23.             low[u] = min(low[u], low[v]);
    
24.         } else if (instk[v])
    
25.             low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    
26.     }
    
27. 
    
28.     if (low[u] == dfn[u]) {
    
29.         int v;
    
30.         cnt++;
    
31. 
    
32.         while (1) {
    
33.             v = stk[top--];
    
34.             instk[v] = 0;
    
35.             id[v] = cnt;
    
36.             val[cnt] += arr[v];
    
37.             if (u == v)
    
38.                 break;
    
39.         }
    
40.     }
    
41. }
    
42. 
    
43. // g 图上的 DP
    
44. int dfs(int u) {
    
45.     if (f[u] > 0)
    
46.         return f[u];
    
47.     f[u] = -1e9;
    
48.     if (ised[u])
    
49.         f[u] = 0;
    
50. 
    
51.     for (auto v : g[u]) {
    
52.         f[u] = max(f[u], dfs(v));
    
53.     }
    
54. 
    
55.     f[u] += val[u];
    
56. 
    
57.     return f[u];
    
58. }
    
59. 
    
60. int main() {
    
61.     ios::sync_with_stdio(0);
    
62.     cin.tie(0);
    
63. 
    
64.     cin >> n >> m;
    
65.     for (int i = 1; i <= m; i++) {
    
66.         int a, b;
    
67.         cin >> a >> b;
    
68.         e[a].emplace_back(b);
    
69.     }
    
70.     for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
71.         cin >> arr[i];
    
72.     }
    
73.     // 必须注意不能和上面的循环一起写, 调代码的时候注意看当前有没有没求过的数值
    
74.     for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
75.         if (!dfn[i])
    
76.             Tarjan(i);
    
77.     }
    
78. 
    
79.     cin >> s >> p;
    
80.     s = id[s];
    
81.     for (int i = 1; i <= p; i++) {
    
82.         int x;
    
83.         cin >> x;
    
84.         ised[id[x]] = 1;
    
85.     }
    
86. 
    
87.     // 建图
    
88.     for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
89.         for (auto j : e[i]) {
    
90.             if (id[i] != id[j]) {
    
91.                 g[id[i]].emplace_back(id[j]);
    
92.             }
    
93.         }
    
94.     }
    
95. 
    
96.     cout << dfs(s);
    
97. 
    
98.     return 0;
    
99. }

复制代码

P3119 [USACO15JAN] Grass Cownoisseur G
这里本来应该拓扑排序的, 但是我们只关心能不能到, 所以按照 scc 编号的大小关心来看就好, 最后判断能否拼起来

1. #include <bits/stdc++.h>
   
2. using namespace std;
   
3. 
   
4. const int N = 1e5 + 5;
   
5. 
   
6. vector<int> e[N], g[N];
   
7. int n, m;
   
8. 
   
9. int dfn[N], low[N], tot;
   
10. int bel[N], scc, siz[N];
    
11. int stk[N], top;
    
12. bitset<N> instk;
    
13. 
    
14. void Tarjan(int u) {
    
15.     dfn[u] = low[u] = ++tot;
    
16.     stk[++top] = u;
    
17.     instk[u] = 1;
    
18. 
    
19.     for (auto v : e[u]) {
    
20.         if (!dfn[v]) {
    
21.             Tarjan(v);
    
22.             low[u] = min(low[u], low[v]);
    
23.         } else if (instk[v])
    
24.             low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    
25.     }
    
26. 
    
27.     if (dfn[u] == low[u]) {
    
28.         int v;
    
29.         scc++;
    
30. 
    
31.         do {
    
32.             v = stk[top--];
    
33.             instk[v] = 0;
    
34.             bel[v] = scc;
    
35.             siz[scc]++;
    
36.         } while (u != v);
    
37.     }
    
38. }
    
39. 
    
40. // 正向, 反向
    
41. int a[N], b[N], ans;
    
42. 
    
43. int main() {
    
44.     ios::sync_with_stdio(0);
    
45.     cin.tie(0);
    
46. 
    
47.     cin >> n >> m;
    
48.     for (int i = 1; i <= m; i++) {
    
49.         int a, b;
    
50.         cin >> a >> b;
    
51.         e[a].emplace_back(b);
    
52.     }
    
53. 
    
54.     for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
55.         if (!dfn[i])
    
56.             Tarjan(i);
    
57.     }
    
58. 
    
59.     if(scc == 1){
    
60.         cout << siz[1];
    
61.         return 0;
    
62.     }
    
63. 
    
64.     for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
65.         for (auto j : e[i]) {
    
66.             if (bel[i] != bel[j]) {
    
67.                 g[bel[i]].emplace_back(bel[j]);
    
68.             }
    
69.         }
    
70.     }
    
71. 
    
72.     memset(a, -0x3f, sizeof(a));
    
73.     memset(b, -0x3f, sizeof(b));
    
74.     a[bel[1]] = siz[bel[1]];
    
75.     b[bel[1]] = 0;
    
76. 
    
77.     // bel[1] 能到达地方的最大值
    
78.     for (int i = bel[1]; i; i--) {
    
79.         for (auto j : g[i]) {
    
80.             a[j] = max(a[j], a[i] + siz[j]);
    
81.         }
    
82.     }
    
83.     // 能到达 bel[1] 的最大值
    
84.     for (int i = bel[1] + 1; i <= scc; i++) {
    
85.         for (auto j : g[i]) {
    
86.             b[i] = max(b[i], b[j] + siz[i]);
    
87.         }
    
88.     }
    
89. 
    
90.     for (int i = 1; i <= scc; i++) {
    
91.         for (auto j : g[i]) {
    
92.             // 想改变方向的是 i-j 这条边, i 自然是在 bel[1] 上面, j 在 bel[1] 下面
    
93.             // 如果不是这样就不用改了, 自己成环了
    
94.             if (i >= bel[1] && j <= bel[1]) {
    
95.                 ans = max(ans, a[j] + b[i]);
    
96.             }
    
97.         }
    
98.     }
    
99. 
    
100.     cout << ans;
     
101. 
     
102.     return 0;
     
103. }

复制代码

有向图的 vDCC(点双连通分量)  eDCC(边双连通分量) 圆方树

BZOJ 3331
建圆方树, 树上差分

1. vector<int> e[N], rst[M];
   
2. 
   
3. // 圆方树: 找出所有 vDCC, 每个点断边, 每个点向含有这个点的 vDCC 连边
   
4. 
   
5. int dfn[N], low[N], tot;
   
6. int stk[N], top, dcc;
   
7. 
   
8. void Tarjan(int u) {
   
9.     dfn[u] = low[u] = ++tot;
   
10.     stk[++top] = u;
    
11. 
    
12.     for (auto v : e[u]) {
    
13.         if (!dfn[v]) {
    
14.             Tarjan(v);
    
15.             low[u] = min(low[u], low[v]);
    
16. 
    
17.             if (low[v] >= dfn[u]) {
    
18.                 int cur = 0;
    
19.                 dcc++;
    
20. 
    
21.                 while (1) {
    
22.                     cur = stk[top--];
    
23.                     rst[cur].emplace_back(dcc);
    
24.                     rst[dcc].emplace_back(cur);
    
25.                     if (cur == v)
    
26.                         break;
    
27.                 }
    
28.                 rst[u].emplace_back(dcc);
    
29.                 rst[dcc].emplace_back(u);
    
30.             }
    
31.         } else
    
32.             low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    
33.     }
    
34. }

复制代码

一九八四
给一个图, 有操作
1 a b x y 问删掉 (x, y) 这个边, a 和 b 能不能连通
2 a b x 问删掉 x 这个点, a 和 b 能不能连通

先求一下 low 和 dfn, 考虑在搜索树上分类讨论(这玩意一定要分清楚)

1. // x 是否是 y 的子节点
   
2. bool Issub(int x, int y) { return (dfn[x] >= dfn[y] && dfn[x] <= r[y]); }
   
3. 
   
4. void Up(int& x, int dist) {
   
5.     for (int i = 17; i >= 0; i--) {
   
6.         if ((dist >> i) & 1) {
   
7.             x = f[x][i];
   
8.         }
   
9.     }
   
10. }
    
11. 
    
12. bool Checkdege(int a, int b, int x, int y) {
    
13.     // 让 x 是 y 的子节点
    
14.     if (dfn[x] < dfn[y])
    
15.         swap(x, y);
    
16. 
    
17.     // 不是树边
    
18.     if (f[x][0] != y)
    
19.         return 1;
    
20. 
    
21.     // 都在或者都不在子树
    
22.     if (Issub(a, x) == Issub(b, x))
    
23.         return 1;
    
24. 
    
25.     // 如果有一个点在子树, 判断 (x, y) 是否是割边
    
26.     return (low[x] < dfn[x]);
    
27. }
    
28. 
    
29. bool Checkcutv(int a, int b, int x) {
    
30.     // 都不在子树
    
31.     if (!Issub(a, x) && !Issub(b, x))
    
32.         return 1;
    
33. 
    
34.     // 都在子树, 看看 lca 是否是 x
    
35.     if (Issub(a, x) && Issub(b, x)) {
    
36.         Up(a, dep[a] - dep[x] - 1);
    
37.         Up(b, dep[b] - dep[x] - 1);
    
38.         return (a == b || (low[a] < dfn[x] && low[b] < dfn[x]));
    
39.     }
    
40. 
    
41.     // 其中一个在子树, 判断割点
    
42.     if (Issub(b, x) && !Issub(a, x))
    
43.         swap(a, b);
    
44.     Up(a, dep[a] - dep[x] - 1);
    
45.     return (low[a] < dfn[x]);
    
46. }

复制代码

FishC

好的，让我们来聊聊图的连通性和强连通分量（SCC）的问题，保证你在这个过程中不会迷失在图的海洋中！

### 图的连通性
想象一下，你在一个朋友的聚会上，一个个的朋友就像图中的点（vertex），而朋友之间的关系就像图中的边（edge）。如果所有的朋友都能通过某种关系（直接或间接的）互相联系，那么这个聚会就是“连通”的。反之，如果有一些朋友是孤独的，那就意味着这个聚会并不是完全连通的。

### 强连通分量
对于有向图，我们多了一个概念，那就是“强连通分量”。这就像你有一群朋友，每个人都至少可以通过关系互相到达其他人。比如，如果你可以从A到B再到C，且从C可以回到A，那“A、B、C”可以算作一个强连通分量。这听起来是不是有点复杂？别担心，接下来我们简单讲解如何找到这些强连通分量的方法。

### Tarjan算法
我们可以用**Tarjan算法**来找到强连通分量。想象一下这是你的图灵（图与灵魂的结合）。这个算法的基本思路是深度优先搜索（DFS），如下：

1. **初始化状态**：给每个节点赋初始值。
2. **递归搜索**：当你访问一个子节点时，更新当前节点的`low`值。
3. **形成组件**：如果当前节点的`low`等于其`dfn`值，那么我们找到了一个强连通分量。

使用Tarjan算法就像是在朋友聚会中玩“抓人游戏”，每次抓到的人都要把周围的朋友拉入自己的小队，直到所有能够互相联系的人都被抓进来了。

### 有向图中的最大收益问题
假如你朋友聚会中的每个人都携带了一些现金，你希望从一个起点开始，到达多个终点，同时尽可能多地“收集”这些现金。这里就可以通过之前提到的SCC来“缩点”，然后使用拓扑排序和动态规划来找到最大收益，就像是在聚会上找到最佳的“收钱”路线！

下面是一个简单的框架：
1. **缩点**：将每个强连通分量看作一个点，形成新的DAG（有向无环图）。
2. **DP求解**：从起点开始，利用动态规划来计算每个点可以得到的最大现金。

### 代码示例
虽然最后的代码有点长，但其实它就是上面提到的思想的具体实现。你只需保持思路清晰，确保在任何情况下都不会“迷路”。记得，计算图的时候一定要小心割点和割边，确保你的“朋友聚会”永远是连通的！

### 总结
通过将图转化为树的形式，我们可以更好、更高效地处理各种问题。不管是找朋友还是收钱，紧握住连通性和强连通分量的钥匙，无论何时，你都能在图的世界中游刃有余！

希望你能在图的旅途中一路顺风，收获满满！而且别忘了最重要的一点——即使是图形和数据结构，偶尔也要给自己留点幽默感哦！

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

柿子饼同学

FishC 发表于 2024-8-11 21:22
好的，让我们来聊聊图的连通性和强连通分量（SCC）的问题，保证你在这个过程中不会迷失在图的海洋中！

# ...

教我一下同余最短路的原理

FishC

柿子饼同学 发表于 2024-08-11 21:37
教我一下同余最短路的原理

同余最短路问题可以说是一个“聪明”的问题，因为它要求我们在图中寻找路径时，不仅要考虑到距离，还要考虑到距离的模（即余数）。让我们来通俗易懂、幽默地聊聊它的原理吧！

### 同余最短路背景
首先，想象一下，一个城镇里有很多条道路，每条道路都有一定的长度（比如公里数）。但每次你走的总距离都需要满足某个特定的条件，比如说，最后的总距离对某个数取余之后的结果要等于0。这就好比你的妈妈希望你每次回家带着一定数量的水果，而不是零零散散的。

### 定义
在同余最短路问题中，我们考虑有向图中的每个边（道路），每个边的权重（长度）可能是正数。我们的目标是从起点出发，找到一条路径，使得终点的距离对某个正整数 \( m \) 的模（余数）达到一个特定值（例如 0）。

### 原理
为了找到这样的路径，我们可以用**动态规划**来解决这个问题。这里是基本的思路：

1. **状态定义**：
   - 用 `dp[u][r]` 表示从起点到节点 \( u \) 的最短路径，并且这条路径的长度对 \( m \) 取余后等于 \( r \)。
   - 其中 \( r \) 可以在 \( 0 \) 到 \( m-1 \) 之间变化。

2. **状态转移**：
   - 当你从节点 \( u \) 转移到节点 \( v \) 时，如果边的权重为 \( w \)，那么可以通过如下方式更新状态：
     - 新的余数 \( new\_r = (r + w) \% m \)
     - 更新 \( dp[v][new\_r] = \min(dp[v][new\_r], dp[u][r] + w) \)
   - 这就像是在为你的水果购物，每次都要加上当前边的权重，然后检查是否符合妈妈的要求（余数）。

3. **初始化**：
   - 初始时，\( dp[start][0] = 0 \) （表示从起点到起点的路径长度为0，余数自然为0），其他状态设置为无穷大。

4. **最终答案**：
   - 经过所有的节点后，你可以根据需要的余数（例如 \( 0 \)）去找终点的 `dp` 状态中最小的路径长度。

### 举个例子
假设一个简单的图，边的权重分别为 1, 2, 3，你希望从起点到达终点的总距离能被 3 整除。

- 除了逐步更新 `dp` 表格外，想象一下，你和朋友们约好了一起买水果，但你必须每次买的数目加起来刚好是 3 的倍数才能获得折扣！每次选择时，你既要计算已经花了多少钱（路径长度），又要考虑现在的水果数量（余数）。

### 总结
同余最短路问题是通过**动态规划**结合模运算的原理来解决的，这种方法适合于处理那些不仅关心路径长度，还要关注路径性质（如余数）的情况。通过划分状态并逐步更新，可以有效找到合适的路径。

希望你在同余最短路的学习过程中，没有迷失在树丛中，而是像个聪明的小狐狸一样，迅速找到最优路径！如果你还有更多问题，随时问我哦！

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

希儿的

佬

柿子饼同学

FishC 发表于 2024-8-11 21:22
好的，让我们来聊聊图的连通性和强连通分量（SCC）的问题，保证你在这个过程中不会迷失在图的海洋中！

# ...

讲 10 个笑话

FishC

柿子饼同学 发表于 2024-08-14 17:50
讲 10 个笑话

当然可以！让我们来轻松一下，下面是十个幽默的小笑话，希望能让你开怀一笑：

1. **为什么程序员不喜欢自然？**  
   因为他们觉得“没有Bug”的地方太少了！

2. **我告诉我的计算机我希望它慢一点。**  
   它现在在犹豫要不要重启。

3. **有两个土豆走在街上，一被车撞了。**  
   另一个说：“你还好吗？”  
   “我现在是薯条了！”

4. **你知道为什么数学书总是很忧伤吗？**  
   因为它有太多的问题！

5. **有一天，狗和猫在讨论各自的优点。**  
   狗说：“我能听懂人类的话。”  
   猫反驳：“那又怎样？我能让你们一直以为你们是我的主人！”

6. **为什么幽灵总是爱参加聚会？**  
   因为他们能够“吸引”所有人的注意！

7. **小时候，我的父母跟我说：‘你是我唯一的孩子’。**  
   我毕业后才明白他们那是为了让我好好学习！

8. **有一天，西红柿走过马路，不小心被车撞了。**  
   司机急了：“喂，小心点，你这可不是番茄酱！”

9. **为何电脑总是冷？**  
   因为它有很多“风扇”！

10. **你听说过那个把电梯当作工作场所的人吗？**  
    他总是在“上升”中！

希望这些笑话带给你一丝欢乐！如果你需要更多的幽默或任何其他问题，请随时告诉我！

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柿子饼同学

FishC 发表于 2024-8-14 17:50
当然可以！让我们来轻松一下，下面是十个幽默的小笑话，希望能让你开怀一笑：

1. **为什么程序员不 ...

长一点的笑话, 大概 50 字

FishC

柿子饼同学 发表于 2024-08-14 17:52
长一点的笑话, 大概 50 字

好的，来一个稍微长一点的笑话，希望你喜欢：

有一位数学老师正在给学生讲解几何，突然一个学生举手问：“老师，为什么圆的周长和直径是固定比值呢？”老师沉默了片刻，幽默地回答：“因为如果不这样，圆就会变成方形，所有的角都得去上班了！”

这下全班都笑了，毕竟，大家都知道，角落里可没有人喜欢加班！

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

柿子饼同学

FishC 发表于 2024-8-14 17:52
好的，来一个稍微长一点的笑话，希望你喜欢：

有一位数学老师正在给学生讲解几何，突然一个学生举手 ...

我即将打算法竞赛, 但是发现同样的题目, 我没有思路或者思路混乱, 而其他人却能做出来
我有些沮丧, 该怎么办呢

柿子饼同学

FishC 发表于 2024-8-14 17:52
好的，来一个稍微长一点的笑话，希望你喜欢：

有一位数学老师正在给学生讲解几何，突然一个学生举手 ...

再来 5 个笑话, 每个大约 60 字

FishC

柿子饼同学 发表于 2024-08-14 17:54
我即将打算法竞赛, 但是发现同样的题目, 我没有思路或 ...

首先，别气馁！你并不是一个人在战斗，许多参加算法竞赛的人都有过类似的经历。下面是一些建议，希望可以帮助你理清思路，增强信心：

### 1. **放松心态**
   - 比赛本身就是一个学习和成长的过程。每个人的成长曲线都是不同的，保持平常心很重要。

### 2. **基础知识复习**
   - 确保你对算法和数据结构的基本概念有清晰的理解。重复学习常见的算法（如排序、搜索、动态规划等），熟悉它们的应用场景及实现方法。

### 3. **多做练习**
   - 多刷题，特别是之前的比赛题目。在 LeetCode、Codeforces、AtCoder 等平台上进行练习，尝试不同类型的问题。

### 4. **分析他人的解法**
   - 对于你做不出来的题，可以学习其他人的解法。分析他们的思路和解决方案，看看自己能从中得到哪些启发。

### 5. **逐步拆解问题**
   - 面对复杂的问题，可以尝试将其拆分成多个小问题，逐步解决。这样会让思路变得更加清晰。

### 6. **与他人讨论**
   - 和同伴讨论问题，交流思路。有时候，听到别人的想法会激发你新的灵感，或者让你的思路更清晰。

### 7. **保持积极的自我对话**
   - 给自己积极的暗示，比如“我能做到”或“每次尝试都是一种进步”，这会帮助你保持积极的状态。

### 8. **适当休息**
   - 如果觉得思路混乱，不妨暂时放下，去散步、喝杯水，稍微放松一下大脑，再回过头来思考。

### 9. **设定小目标**
   - 不要一开始就追求高难度题，先从简单的题目做起，逐步提升自己的能力，建立信心。

### 10. **相信过程**
   - 技能的提升需要时间，持续努力和练习终将带来回报。每一次失败都是宝贵的经验。

记住，每个高手都是从新手过来的，关键在于坚持和不断学习。祝你在接下来的算法竞赛中取得好成绩！你一定可以做到的！加油！

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FishC

柿子饼同学 发表于 2024-08-14 18:03
再来 5 个笑话, 每个大约 60 字

当然可以，来五个幽默的小故事，保证让你笑得合不拢嘴！

1. 有一天，一只鹦鹉飞到了一个酒吧，服务员惊讶地问：“你会说话吗？”鹦鹉骄傲地说：“当然，我能说五种语言！”服务员又问：“那你怎么飞到这儿的？”鹦鹉说：“我坐飞机！你以为我有那么多时间走路吗？”

2. 一只乌龟在马路上慢慢爬，被一只兔子嘲笑：“你干嘛这么慢，好像在等什么！”乌龟不屑一顾：“我是在享受风景，没必要急匆匆！”兔子翻了个白眼：“风景？你根本看不到前面有车来啊！”乌龟耸肩：“没关系，我的保险杠还在维修呢！”

3. 一位顾客走进理发店，问发型师：“你们这里剪头发需要预约吗？”发型师微笑着回答：“不需要，来就行！我们的座位是免费提供的，剪发费也挺便宜！”顾客好奇：“那为什么大家都要预约？”发型师摇了摇头：“因为大家都怕被剪成一个‘饼’！”

4. 一只小狗对另一只小狗说：“我学会了个新把戏，可以让主人给我零食！”另一只小狗好奇：“怎么做？”小狗自信地说：“我藏起来，然后在晚上叫两声。”第二只小狗疑惑：“这样能有什么用？”小狗眨眨眼：“因为主人最后没法找到我，就会给我一些额外的零食！”

5. 一位教授在课堂上问学生：“大家知道为什么火箭总是朝上飞吗？”一个学生立刻回答：“因为它想逃离地球的引力！”教授微微一笑：“不错，但更重要的是，它不想跟我们一起上课！”全班爆笑，看来知识就是力量，而逃课也是一种智慧！

希望这些笑话能带给你欢乐！

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简柠啦

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向大佬学习学习

咔咔咔米

学

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学习下

鱼不来

666666666666

很cool的阳

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学习学习