[心之碎片] - 图论建模

柿子饼同学

包括
网络流初步, 差分约束, 同余最短路, Kruskal重构树

最大流板子都是一样的, 关键在于建模和连边, 限制比较多并且问你匹配的时候要想到
拆点是按照状态来拆的, 例如不同时间的门...
建图要按照如何解决问题来建, 不同的行为可以抽象成连边放进图
差分约束解决一些不等式问题, 求最短路意味着 a b 之间的差值最大为多少... 来判断可行性唯一性之类的
同余最短路解决构成问题, 选取一个最小的数字, 按照她取模分类, 跑最短路可以得到一系列最小的模她为定值的数字
遇到图上路径最大值不超过/不小于之类问题要想到重构树图论注意连通性

网络流 Dinic 算法板子 + 前向星:

int st, ed;

struct Graph {
    struct Edge {
        int v, cap, nxt;
    } e[K];
    int tot, H[M];

    Graph() {
        memset(H, -1, sizeof(H));
        tot = 0;
    }

    void Add(int u, int v, int w) {
        e[tot] = { v, w, H[u] };
        H[u] = tot++;
        e[tot] = { u, 0, H[v] };
        H[v] = tot++;
    }
} g;

struct Max_Flow {
    int dep[M], cur[M];

    bool bfs() {
        queue<int> q;
        memset(dep, 0, sizeof(int) * (ed + 1));

        dep[st] = 1;
        q.emplace(st);

        while (!q.empty()) {
            int u = q.front(), v, c;
            q.pop();

            for (int i = g.H[u]; ~i; i = g.e[i].nxt) {
                v = g.e[i].v, c = g.e[i].cap;
                if (c && !dep[v]) {
                    dep[v] = dep[u] + 1;
                    q.emplace(v);
                }
            }
        }

        return dep[ed];
    }

    int dfs(int u, int mf) {
        if (u == ed || !mf)
            return mf;

        int v, c, d;
        for (int& i = cur[u]; ~i; i = g.e[i].nxt) {
            v = g.e[i].v, c = g.e[i].cap;

            if (dep[v] == dep[u] + 1 && c) {
                if (d = dfs(v, min(mf, c))) {
                    g.e[i].cap -= d;
                    g.e[i ^ 1].cap += d;

                    return d;
                }
            }
        }

        return 0;
    }

    int Dinic() {
        int res = 0, flow;
        while (bfs()) {
            for (int i = 0; i <= ed; i++) {
                cur[i] = g.H[i];
            }

            while (1) {
                flow = dfs(st, INT_MAX);
                if (!flow)
                    break;
                res += flow;
            }
        }

        return res;
    }
} mf;

B - 圆桌问题
把每个单位向各个桌子连一道流量为1的边
由源点向每个单位连上 连上单位人数的边
由每个圆桌向汇点连上 圆桌人数的边
然后跑一下最大匹配 如果最大匹配数等于所有单位的人数和

C - 发抖的牛
二分时间, 连边

D - dining
注意每个牛只能吃一种食物饮料, 所以需要把每头牛拆成两个点, 中间连权值为 1 的边

E - 紧急疏散
二分时间, 把门拆成每个时间的门,
bfs 预处理每个人到每个门的时间, 二分之后建图就把人到门建边, 但是如何解决很多人同时进门?
我们把每个门向她的 时间+1 的门连一个 inf 流量的边, 就表示如果当前时间有人进门了, 同时来到门前的人需要顺位进入下一个时间的门

差分约束系统
F - 狡猾的商人
带权并查集维护区间和, 每次询问 s[r] - s[l - 1]

H - FES
首先连边, 她问的唯一, 考虑 scc 中才具有唯一性, 不同 scc 只有大小关系
所以缩点然后跑最长路, 求出这个 scc 中的最小差值,
因为只可以 相等或 >= 1, 所以这个差值就是取值范围
每个 scc 这样搞就行了

I - 天平
求出两个砝码最大最小差多少, 然后按照不等式把和柿改成差判断就行
注意只需要满足一对即可

同余最短路
J - 等式

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 5e5 + 5;
const int M = 14;

// 同余最短路
// 假设 mn 是 a[] 中的一个, 如果一个数字 x 能被表示出来, 那么 y = (x + mn*k) 也可以被表示出来
// 而 x = y (mod mn)
// 用 dis[i] 表示最小的 x 使得 x % mn = i, i 属于 [0, mn - 1]
// 跑最短路, 起点是 0 保证 x 一定能被表示出来
// i 向 i + a[j] 连边, 边权是 a[j]
// 然后算答案就行了

struct Edge {
    ll v, w;

    Edge(ll x, ll y) { v = x, w = y; }
};

int n;
ll l, r, a[M], mn = 1e9;

// spfa
vector<Edge> g[N];
ll dis[N];
bitset<N> vis;

void Spfa() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    queue<int> q;

    dis[0] = 0;
    q.emplace(0);

    while (!q.empty()) {
        auto u = q.front();
        q.pop();

        vis[u] = 0;

        for (auto y : g[u]) {
            auto v = y.v, w = y.w;

            if (dis[v] > dis[u] + w) {
                dis[v] = dis[u] + w;

                if (vis[v])
                    continue;
                vis[v] = 1;
                q.emplace(v);
            }
        }
    }
}

ll Query(ll x) {
    ll res = 0;

    for (int i = 0; i < mn; i++) {
        if (dis[i] > x)
            continue;
        res += (x - dis[i]) / mn + 1;
    }

    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    cin >> n >> l >> r;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];

        // 可能有 0, 跳过
        if (a[i])
            mn = min(mn, a[i]);
    }

    for (int i = 0; i < mn; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!a[j] || a[j] == mn)
                continue;

            g[i].emplace_back((i + a[j]) % mn, a[j]);
        }
    }

    Spfa();

    cout << Query(r) - Query(l - 1);

    return 0;
}

Kruskal 重构树
求最小/最大生成树的时候合并边上的两个点, 新建一个点, 权值是边权, 连向这两个点
最后形成了二叉树, 就可以套用树上问题做了
注意连通性

K - 货车运输
最大生成树 或者 重构树求 lca
还有一些奇妙的解法:
跟第一种写法差不多，只不过构建最大生成树时我们不路径压缩，用按秩合并的方法，把深度小的点合并到大的点上面。
注意了，此时连边并不是把两个点直接连边，而是把它们的祖先连边（边权还是一样）。
可以证明：因为我们是按边从大到小加的，而要查询路径上的边权最小值。
此时，这条边把两个集合合并在了一起，那么一个集合到另一个集合必定要经过这条边，而这条边又是目前最小的（其它边可以不管了），所以我们只用确保路径经过了这条边即可。
按照这样构成的生成树深度最多只有log(n)，因此找路径暴力遍历即可。

L - 删边
给一个图, 每次询问 k 个点, 求最小的 x 使得小于等于 x 的边删掉之后 k 个点互相不连通

建生成树, 把 k 个点按照 dfn 排序, 每次求相邻点的 lca 取 min 即可

学习编程中的Ben

我去。。。只看懂了一个链式前向星。。。

柿子饼同学

学习编程中的Ben 发表于 2024-8-30 12:31
我去。。。只看懂了一个链式前向星。。。

基本都是提高组的

学习编程中的Ben

柿子饼同学 发表于 2024-8-30 12:59
基本都是提高组的

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
老了，跟不上时代的节奏了

学习编程中的Ben

小小问一下，你为啥要专门来发这些帖子，真正看得人很少，编辑帖子也很麻烦

柿子饼同学

学习编程中的Ben 发表于 2024-8-30 14:17
小小问一下，你为啥要专门来发这些帖子，真正看得人很少，编辑帖子也很麻烦

相当于一个错题本的作用, 时不时回来看看复习总结

学习编程中的Ben

柿子饼同学 发表于 2024-8-30 16:41
相当于一个错题本的作用, 时不时回来看看复习总结

orz!!!

简柠啦

很cool的阳

trinityee

看看

森林格格屋

谢谢

XiaoMengXin-1

没币解锁课后作业了

cc885544