[心之碎片] - 图论建模

柿子饼同学

包括
网络流初步, 差分约束, 同余最短路, Kruskal重构树

最大流板子都是一样的, 关键在于建模和连边, 限制比较多并且问你匹配的时候要想到
拆点是按照状态来拆的, 例如不同时间的门...
建图要按照如何解决问题来建, 不同的行为可以抽象成连边放进图
差分约束解决一些不等式问题, 求最短路意味着 a b 之间的差值最大为多少... 来判断可行性唯一性之类的
同余最短路解决构成问题, 选取一个最小的数字, 按照她取模分类, 跑最短路可以得到一系列最小的模她为定值的数字
遇到图上路径最大值不超过/不小于之类问题要想到重构树图论注意连通性

网络流 Dinic 算法板子 + 前向星:

1. int st, ed;
   
2. 
   
3. struct Graph {
   
4.     struct Edge {
   
5.         int v, cap, nxt;
   
6.     } e[K];
   
7.     int tot, H[M];
   
8. 
   
9.     Graph() {
   
10.         memset(H, -1, sizeof(H));
    
11.         tot = 0;
    
12.     }
    
13. 
    
14.     void Add(int u, int v, int w) {
    
15.         e[tot] = { v, w, H[u] };
    
16.         H[u] = tot++;
    
17.         e[tot] = { u, 0, H[v] };
    
18.         H[v] = tot++;
    
19.     }
    
20. } g;
    
21. 
    
22. struct Max_Flow {
    
23.     int dep[M], cur[M];
    
24. 
    
25.     bool bfs() {
    
26.         queue<int> q;
    
27.         memset(dep, 0, sizeof(int) * (ed + 1));
    
28. 
    
29.         dep[st] = 1;
    
30.         q.emplace(st);
    
31. 
    
32.         while (!q.empty()) {
    
33.             int u = q.front(), v, c;
    
34.             q.pop();
    
35. 
    
36.             for (int i = g.H[u]; ~i; i = g.e[i].nxt) {
    
37.                 v = g.e[i].v, c = g.e[i].cap;
    
38.                 if (c && !dep[v]) {
    
39.                     dep[v] = dep[u] + 1;
    
40.                     q.emplace(v);
    
41.                 }
    
42.             }
    
43.         }
    
44. 
    
45.         return dep[ed];
    
46.     }
    
47. 
    
48.     int dfs(int u, int mf) {
    
49.         if (u == ed || !mf)
    
50.             return mf;
    
51. 
    
52.         int v, c, d;
    
53.         for (int& i = cur[u]; ~i; i = g.e[i].nxt) {
    
54.             v = g.e[i].v, c = g.e[i].cap;
    
55. 
    
56.             if (dep[v] == dep[u] + 1 && c) {
    
57.                 if (d = dfs(v, min(mf, c))) {
    
58.                     g.e[i].cap -= d;
    
59.                     g.e[i ^ 1].cap += d;
    
60. 
    
61.                     return d;
    
62.                 }
    
63.             }
    
64.         }
    
65. 
    
66.         return 0;
    
67.     }
    
68. 
    
69.     int Dinic() {
    
70.         int res = 0, flow;
    
71.         while (bfs()) {
    
72.             for (int i = 0; i <= ed; i++) {
    
73.                 cur[i] = g.H[i];
    
74.             }
    
75. 
    
76.             while (1) {
    
77.                 flow = dfs(st, INT_MAX);
    
78.                 if (!flow)
    
79.                     break;
    
80.                 res += flow;
    
81.             }
    
82.         }
    
83. 
    
84.         return res;
    
85.     }
    
86. } mf;

复制代码

B - 圆桌问题
把每个单位向各个桌子连一道流量为1的边
由源点向每个单位连上 连上单位人数的边
由每个圆桌向汇点连上 圆桌人数的边
然后跑一下最大匹配 如果最大匹配数等于所有单位的人数和

C - 发抖的牛
二分时间, 连边

D - dining
注意每个牛只能吃一种食物饮料, 所以需要把每头牛拆成两个点, 中间连权值为 1 的边

E - 紧急疏散
二分时间, 把门拆成每个时间的门,
bfs 预处理每个人到每个门的时间, 二分之后建图就把人到门建边, 但是如何解决很多人同时进门?
我们把每个门向她的 时间+1 的门连一个 inf 流量的边, 就表示如果当前时间有人进门了, 同时来到门前的人需要顺位进入下一个时间的门

差分约束系统
F - 狡猾的商人
带权并查集维护区间和, 每次询问 s[r] - s[l - 1]

H - FES
首先连边, 她问的唯一, 考虑 scc 中才具有唯一性, 不同 scc 只有大小关系
所以缩点然后跑最长路, 求出这个 scc 中的最小差值,
因为只可以 相等或 >= 1, 所以这个差值就是取值范围
每个 scc 这样搞就行了

I - 天平
求出两个砝码最大最小差多少, 然后按照不等式把和柿改成差判断就行
注意只需要满足一对即可

同余最短路
J - 等式

1. #include <bits/stdc++.h>
   
2. using namespace std;
   
3. 
   
4. typedef long long ll;
   
5. 
   
6. const int N = 5e5 + 5;
   
7. const int M = 14;
   
8. 
   
9. // 同余最短路
   
10. // 假设 mn 是 a[] 中的一个, 如果一个数字 x 能被表示出来, 那么 y = (x + mn*k) 也可以被表示出来
    
11. // 而 x = y (mod mn)
    
12. // 用 dis[i] 表示最小的 x 使得 x % mn = i, i 属于 [0, mn - 1]
    
13. // 跑最短路, 起点是 0 保证 x 一定能被表示出来
    
14. // i 向 i + a[j] 连边, 边权是 a[j]
    
15. // 然后算答案就行了
    
16. 
    
17. struct Edge {
    
18.     ll v, w;
    
19. 
    
20.     Edge(ll x, ll y) { v = x, w = y; }
    
21. };
    
22. 
    
23. int n;
    
24. ll l, r, a[M], mn = 1e9;
    
25. 
    
26. // spfa
    
27. vector<Edge> g[N];
    
28. ll dis[N];
    
29. bitset<N> vis;
    
30. 
    
31. void Spfa() {
    
32.     memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    
33.     queue<int> q;
    
34. 
    
35.     dis[0] = 0;
    
36.     q.emplace(0);
    
37. 
    
38.     while (!q.empty()) {
    
39.         auto u = q.front();
    
40.         q.pop();
    
41. 
    
42.         vis[u] = 0;
    
43. 
    
44.         for (auto y : g[u]) {
    
45.             auto v = y.v, w = y.w;
    
46. 
    
47.             if (dis[v] > dis[u] + w) {
    
48.                 dis[v] = dis[u] + w;
    
49. 
    
50.                 if (vis[v])
    
51.                     continue;
    
52.                 vis[v] = 1;
    
53.                 q.emplace(v);
    
54.             }
    
55.         }
    
56.     }
    
57. }
    
58. 
    
59. ll Query(ll x) {
    
60.     ll res = 0;
    
61. 
    
62.     for (int i = 0; i < mn; i++) {
    
63.         if (dis[i] > x)
    
64.             continue;
    
65.         res += (x - dis[i]) / mn + 1;
    
66.     }
    
67. 
    
68.     return res;
    
69. }
    
70. 
    
71. int main() {
    
72.     ios::sync_with_stdio(0);
    
73.     cin.tie(0);
    
74. 
    
75.     cin >> n >> l >> r;
    
76.     for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
77.         cin >> a[i];
    
78. 
    
79.         // 可能有 0, 跳过
    
80.         if (a[i])
    
81.             mn = min(mn, a[i]);
    
82.     }
    
83. 
    
84.     for (int i = 0; i < mn; i++) {
    
85.         for (int j = 1; j <= n; j++) {
    
86.             if (!a[j] || a[j] == mn)
    
87.                 continue;
    
88. 
    
89.             g[i].emplace_back((i + a[j]) % mn, a[j]);
    
90.         }
    
91.     }
    
92. 
    
93.     Spfa();
    
94. 
    
95.     cout << Query(r) - Query(l - 1);
    
96. 
    
97.     return 0;
    
98. }

复制代码

Kruskal 重构树
求最小/最大生成树的时候合并边上的两个点, 新建一个点, 权值是边权, 连向这两个点
最后形成了二叉树, 就可以套用树上问题做了
注意连通性

K - 货车运输
最大生成树 或者 重构树求 lca
还有一些奇妙的解法:
跟第一种写法差不多，只不过构建最大生成树时我们不路径压缩，用按秩合并的方法，把深度小的点合并到大的点上面。
注意了，此时连边并不是把两个点直接连边，而是把它们的祖先连边（边权还是一样）。
可以证明：因为我们是按边从大到小加的，而要查询路径上的边权最小值。
此时，这条边把两个集合合并在了一起，那么一个集合到另一个集合必定要经过这条边，而这条边又是目前最小的（其它边可以不管了），所以我们只用确保路径经过了这条边即可。
按照这样构成的生成树深度最多只有log(n)，因此找路径暴力遍历即可。

L - 删边
给一个图, 每次询问 k 个点, 求最小的 x 使得小于等于 x 的边删掉之后 k 个点互相不连通

建生成树, 把 k 个点按照 dfn 排序, 每次求相邻点的 lca 取 min 即可

学习编程中的Ben

我去。。。只看懂了一个链式前向星。。。

柿子饼同学

学习编程中的Ben 发表于 2024-8-30 12:31
我去。。。只看懂了一个链式前向星。。。

基本都是提高组的

学习编程中的Ben

柿子饼同学 发表于 2024-8-30 12:59
基本都是提高组的

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
老了，跟不上时代的节奏了

学习编程中的Ben

小小问一下，你为啥要专门来发这些帖子，真正看得人很少，编辑帖子也很麻烦

柿子饼同学

学习编程中的Ben 发表于 2024-8-30 14:17
小小问一下，你为啥要专门来发这些帖子，真正看得人很少，编辑帖子也很麻烦

相当于一个错题本的作用, 时不时回来看看复习总结

学习编程中的Ben

柿子饼同学 发表于 2024-8-30 16:41
相当于一个错题本的作用, 时不时回来看看复习总结

orz!!!

简柠啦

很cool的阳

trinityee

看看

森林格格屋

谢谢

XiaoMengXin-1

没币解锁课后作业了

cc885544