[已解决]求救简单等差数列

zhangjinxuan

for (int i = 0; i < xmax; ++i) {
        for (int j = 0; j < ymax; ++j) {
                tmp += (i < j);
        }
}

这个怎么快速求解，突然不会了，求救！

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FishC

2024-11-6 16:43:42

zhangjinxuan 发表于 2024-11-06 16:27
@Fishc

for (int i = 0; i < xmax; ++i) {
       ...

这个问题可以从代码的逻辑出发进行分析，从而得出一个数学解。

代码的核心在于理解 `tmp += (i < j);` 这行的作用。表达式 `(i < j)` 是一个布尔值，在C/C++中可以转换为0（假）或1（真）。因此，这行代码在累加满足 `i < j` 条件的次数。

我们可以逐步分析嵌套的双重循环：

1. 外层循环控制 `i` 的值范围为 0 到 `xmax-1`。
2. 内层循环控制 `j` 的值范围为 0 到 `ymax-1`。

对于每个固定的 `i` 值，`j` 从0开始逐一增大到 `ymax-1`。我们需要确定有多少次 `j` 能使条件 `i < j` 成立。

具体分析如下：

- 若 `i = 0`，那么 `j` 可以是 1 到 `ymax-1`，共 `ymax - 1` 个。
- 若 `i = 1`，那么 `j` 可以是 2 到 `ymax-1`，共 `ymax - 2` 个。
- ...
- 若 `i = xmax-1`，那么 `j` 只能是 `xmax` 到 `ymax-1`，若 `xmax < ymax`，则 `j` 有 `ymax - xmax` 个，否则为0个。

通过上述分析可知，我们需要对所有 `i` 进行这样的求和计算，即：

\[ \text{tmp} = \sum_{i=0}^{xmax-1} (ymax - i - 1) \]

从而：

\[ \text{tmp} = (ymax - 1) + (ymax - 2) + \ldots + (ymax - xmax) \]

这个是从 `ymax-1` 到 `ymax-xmax` 的一系列整数的和，它是一个等差数列，其和可以用等差数列求和公式计算：

\[ \text{tmp} = \frac{n \cdot (\text{first term} + \text{last term})}{2} \]

其中 `n` 是项数，首次项是 `ymax-1`，末项是 `ymax - xmax`，因此：

\[ n = xmax \]
\[ \text{first term} = ymax - 1 \]
\[ \text{last term} = ymax - xmax \]

代入公式可得：

\[ \text{tmp} = \frac{xmax \cdot ((ymax - 1) + (ymax - xmax))}{2} \]

\[ \text{tmp} = \frac{xmax \cdot (2ymax - xmax - 1)}{2} \]

这个公式可以快速计算出代码中的 `tmp` 的值。希望这些推导对你理解这段代码有帮助！

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zhangjinxuan

@fishc

for (int i = 0; i < xmax; ++i) {
        for (int j = 0; j < ymax; ++j) {
                tmp += (i < j);
        }
}


这个怎么快速求解，突然不会了，求救！

zhangjinxuan

@Fishc

for (int i = 0; i < xmax; ++i) {
        for (int j = 0; j < ymax; ++j) {
                tmp += (i < j);
        }
}


这个怎么快速求解，突然不会了，求救！

FishC

这个问题涉及到一个双重循环，计算满足条件的 `(i, j)` 对的数量，其中 `i < j`。我们可以通过数学推导来快速求解这个问题，而不需要实际运行嵌套循环。

### 分析

1. **循环范围**：`i` 从 `0` 到 `xmax-1`，`j` 从 `0` 到 `ymax-1`。
2. **条件**：`i < j`。

### 快速求解

对于每一个固定的 `i`，`j` 的取值范围是从 `i+1` 到 `ymax-1`。因此，对于每一个 `i`，满足 `i < j` 的 `j` 的数量是 `ymax - (i + 1)`。

我们可以将所有 `i` 的结果累加起来：

\[ \text{总数} = \sum_{i=0}^{xmax-1} (ymax - (i + 1)) \]

这个公式可以进一步简化为：

\[ \text{总数} = \sum_{i=0}^{xmax-1} (ymax - i - 1) = \sum_{i=0}^{xmax-1} (ymax - 1) - \sum_{i=0}^{xmax-1} i \]

\[ = xmax \times (ymax - 1) - \frac{xmax \times (xmax - 1)}{2} \]

### 结论

通过上述公式，你可以快速计算出满足条件的 `(i, j)` 对的数量，而不需要实际运行嵌套循环。

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FishC

zhangjinxuan 发表于 2024-11-06 16:26
@fishc

for (int i = 0; i < xmax; ++i) {
       ...

这个问题涉及到计算一系列条件判断在给定范围内的总次数。代码中，`tmp += (i < j)` 的意思是：如果 `i < j` 成立，就将 `tmp` 增加 1。我们的目标是计算 `tmp` 的值。

考虑到代码的双层循环结构：

- 外层循环：`i` 从 `0` 到 `xmax-1`（总共 `xmax` 次循环）。
- 内层循环：`j` 从 `0` 到 `ymax-1`（总共 `ymax` 次循环）。

对于每一个固定的 `i`，我们需要找到比 `i` 大的 `j` 的数量，即满足 `i < j` 的 `j` 的数量。当 `i < j` 时，有 `j` 的取值范围是从 `i+1` 到 `ymax-1`。于是，每一轮的满足条件的 `j` 总数为 `ymax - i - 1`（即从 `i+1` 到 `ymax-1` 的数量）。

于是，整个过程的 `tmp` 累积值可以表示为：

\[
\text{tmp} = \sum_{i=0}^{xmax-1} (ymax - i - 1)
\]

可以拆解这个公式：

1. 对于每个 `i`，`j` 从 `i+1` 到 `ymax-1`，个数是 `ymax - i - 1`。
2. 将这些所有的 `i` 的结果相加。

综上所述，`tmp` 的值为：

\[
\text{tmp} = \sum_{i=0}^{xmax-1} (ymax - i - 1)
\]

使用数学公式进行化简：

\[
\text{tmp} = (ymax - 1) + (ymax - 2) + \ldots + (ymax - xmax)
\]

这个是一种算术级数求和，展开为：

\[
\text{tmp} = xymax - 0 - (1 + 2 + \ldots + (xmax-1))
\]

其中：

\[
1 + 2 + \ldots + (xmax-1) = \frac{xmax \cdot (xmax - 1)}{2}
\]

所以，最后化简得到：

\[
\text{tmp} = xmax \cdot ymax - \frac{xmax \cdot (xmax - 1)}{2}
\]

这个结果可以在 `O(1)` 时间复杂度下直接计算，而不需要真正执行原来两个循环的代码。

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FishC

zhangjinxuan 发表于 2024-11-06 16:27
@Fishc

for (int i = 0; i < xmax; ++i) {
       ...

这个问题可以从代码的逻辑出发进行分析，从而得出一个数学解。

代码的核心在于理解 `tmp += (i < j);` 这行的作用。表达式 `(i < j)` 是一个布尔值，在C/C++中可以转换为0（假）或1（真）。因此，这行代码在累加满足 `i < j` 条件的次数。

我们可以逐步分析嵌套的双重循环：

1. 外层循环控制 `i` 的值范围为 0 到 `xmax-1`。
2. 内层循环控制 `j` 的值范围为 0 到 `ymax-1`。

对于每个固定的 `i` 值，`j` 从0开始逐一增大到 `ymax-1`。我们需要确定有多少次 `j` 能使条件 `i < j` 成立。

具体分析如下：

- 若 `i = 0`，那么 `j` 可以是 1 到 `ymax-1`，共 `ymax - 1` 个。
- 若 `i = 1`，那么 `j` 可以是 2 到 `ymax-1`，共 `ymax - 2` 个。
- ...
- 若 `i = xmax-1`，那么 `j` 只能是 `xmax` 到 `ymax-1`，若 `xmax < ymax`，则 `j` 有 `ymax - xmax` 个，否则为0个。

通过上述分析可知，我们需要对所有 `i` 进行这样的求和计算，即：

\[ \text{tmp} = \sum_{i=0}^{xmax-1} (ymax - i - 1) \]

从而：

\[ \text{tmp} = (ymax - 1) + (ymax - 2) + \ldots + (ymax - xmax) \]

这个是从 `ymax-1` 到 `ymax-xmax` 的一系列整数的和，它是一个等差数列，其和可以用等差数列求和公式计算：

\[ \text{tmp} = \frac{n \cdot (\text{first term} + \text{last term})}{2} \]

其中 `n` 是项数，首次项是 `ymax-1`，末项是 `ymax - xmax`，因此：

\[ n = xmax \]
\[ \text{first term} = ymax - 1 \]
\[ \text{last term} = ymax - xmax \]

代入公式可得：

\[ \text{tmp} = \frac{xmax \cdot ((ymax - 1) + (ymax - xmax))}{2} \]

\[ \text{tmp} = \frac{xmax \cdot (2ymax - xmax - 1)}{2} \]

这个公式可以快速计算出代码中的 `tmp` 的值。希望这些推导对你理解这段代码有帮助！

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