[已解决]一个数学题

zyx2012

数学报纸上有这样一道题
对于平面直角坐标系xOy中的点P（a,b）,若点P’坐标为（a+kb,ka+b）(k为常数，k≠0)则称点P’为P的“k属派生点”，例如P(1, 4)的“2属派生点”为P'(1+2*4,2*1+4),即P(9,6)
若P在x轴正半轴，点P的“k属派生点”为P’，且线段PP’的长度为线段OP长度的三倍，求k的值
答案是±3，正3好求，负三怎么求得

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tommyyu

2024-12-29 11:29:26

(p, 0) -> (p, kp)
PP' = |kp|; PO = |p|
PP' = 3PO ->  |k||p| = 3|p|, |k| = 3, k = ±3

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zyx2012

@fishc

某一个“天”

首先，由于点P在x轴正半轴上，可以设点P的坐标为(a,0)，其中a>0。
根据“k属派生点”的定义，点P
′
的坐标为(a+kb,ka+b)。
由于点P在x轴上，其y坐标为0，即b=0。
代入得点P
′
的坐标为(a+k⋅0,k⋅a+0)=(a,ka)。
接下来，利用两点间的距离公式计算线段PP
′
和OP的长度。
线段OP的长度为：
OP=
(a−0)
2
+(0−0)
2

​       
=a，
线段PP
′
的长度为：
PP
′
=
(a−a)
2
+(0−ka)
2

​       
=
k
2
a
2

​       
=∣k∣a，
根据题目条件，线段PP
′
的长度是线段OP长度的三倍，即：
∣k∣a=3a，
由于a>0，可以除以a（不改变等式的方向）：
∣k∣=3，
解绝对值方程，得到两个可能的
k=3或k=−3，
因此，k的值为±3。

某一个“天”

首先，由于点P在x轴正半轴上，可以设点P的坐标为(a,0)，其中a>0。
根据“k属派生点”的定义，点P 
′
 的坐标为(a+kb,ka+b)。
由于点P在x轴上，其y坐标为0，即b=0。
代入得点P 
′
 的坐标为(a+k⋅0,k⋅a+0)=(a,ka)。
接下来，利用两点间的距离公式计算线段PP 
′
 和OP的长度。
线段OP的长度为：
OP= 
(a−0) 
2
 +(0−0) 
2
 
​        
 =a，
线段PP 
′
 的长度为：
PP 
′
 = 
(a−a) 
2
 +(0−ka) 
2
 
​        
 = 
k 
2
 a 
2
 
​        
 =∣k∣a，
根据题目条件，线段PP 
′
 的长度是线段OP长度的三倍，即：
∣k∣a=3a，
由于a>0，可以除以a（不改变等式的方向）：
∣k∣=3，
解绝对值方程，得到两个可能的
k=3或k=−3，
因此，k的值为±3。

某一个“天”

@FishC

tommyyu

(p, 0) -> (p, kp)
PP' = |kp|; PO = |p|
PP' = 3PO ->  |k||p| = 3|p|, |k| = 3, k = ±3

FishC

某一个“天” 发表于 2024-12-29 11:28
@Fishc

有什么我可以帮助你的吗？你可以在这里提出你的问题！

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

zyx2012

FishC 发表于 2024-12-29 11:34
以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

@FishC 解析一下

FishC

zyx2012 发表于 2024-12-29 11:38
@FishC 解析一下

可以的，请把你需要解析的内容或问题详细描述一下，我会为你解析和解答。

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

zyx2012

tommyyu 发表于 2024-12-29 11:29
(p, 0) -> (p, kp)
PP' = |kp|; PO = |p|
PP' = 3PO ->  |k||p| = 3|p|, |k| = 3, k = ±3

懂了！！谢谢

FishC

zyx2012 发表于 2024-12-29 12:15
懂了！！谢谢

不客气哦！如果还有其他问题或者需要进一步的帮助，随时可以提问哦！{:5_115:}

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

zyx2012

FishC 发表于 2024-12-29 12:15
不客气哦！如果还有其他问题或者需要进一步的帮助，随时可以提问哦！{:5_115:}

以上回复来自 FishC  ...

???

FishC

zyx2012 发表于 2024-12-29 12:35
???

抱歉，我之前的回复不太准确。关于这道数学题的负解，下面为你详细解析：  

我们有点 \(P(a, 0)\) 在 x 轴正半轴上，其 “k属派生点”为 \(P’(a+kb, ka+0) =(a+kb, ka)\)。根据题意，线段 \(PP’\) 的长度等于线段 \(OP\) 长度的三倍。  

1. **求 \(OP\) 的长度：**  
   \[ OP = \sqrt{a^2 + 0^2} = a \]

2. **求 \(PP’\) 的长度：**  
   \[ PP’ = \sqrt{(a+kb-a)^2 + (ka-0)^2} = \sqrt{(kb)^2 + (ka)^2} \]  
   \[ = \sqrt{k^2b^2 + k^2a^2} = k \sqrt{b^2 + a^2} \]

3. **根据题意：**  
   \[ PP’ = 3 \times OP \]  
   \[ k \sqrt{b^2 + a^2} = 3a \]  
   \[ |k| \cdot \sqrt{b^2 + a^2} = 3a \]  
   由于 \(\sqrt{b^2 + a^2}\) 始终正，得  
   \[ k = \pm 3 \]

所以，\(k\) 可以取 \(+3\) 或 \(-3\)。负值也是成立的，因为绝对值操作导致两者都满足条件。希望这样的细致解析对你有所帮助！如果还有不明白的地方，欢迎继续提问！{:5_115:}

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

zyx2012

FishC 发表于 2024-12-29 12:43
抱歉，我之前的回复不太准确。关于这道数学题的负解，下面为你详细解析：  

我们有点 \(P(a, 0)\)  ...

明白了

FishC

zyx2012 发表于 2024-12-29 12:44
明白了

太好了！如果还有其他问题或者需要帮助的地方，随时欢迎提问哦！{:5_115:}

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。