题目50：100万以下的哪个质数能够写成最多连续质数的和？

欧拉计划

Consecutive prime sum

The prime 41, can be written as the sum of six consecutive primes:

41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13

This is the longest sum of consecutive primes that adds to a prime below one-hundred.

The longest sum of consecutive primes below one-thousand that adds to a prime, contains 21 terms, and is equal to 953.

Which prime, below one-million, can be written as the sum of the most consecutive primes?

题目：

41 这个质数，可以写作 6 个连续质数之和：

41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13

这是 100 以下的最长的和为质数的连续质数序列。

1000 以下最长的和为质数的连续质数序列包含 21 个项，和为 953。

找出 100 万以下的最长的何为质数的连续质数序列之和。

100 万以下的哪个质数能够写成最长的连续质数序列？

jerryxjr1220

1. 997651 从质数序列的第3位起 连续543个
   
2. 
   
3. def getPrime(n):
   
4.         primes = [True]*n
   
5.         primes[0],primes[1]=False,False
   
6.         for (i, prime) in enumerate(primes):
   
7.                 if prime:
   
8.                         for j in range(i*i,n,i): primes[j] = False
   
9.         return [k for (k,trueprime) in enumerate(primes) if trueprime]
   
10. 
    
11. primes = getPrime(1000000)
    
12. 
    
13. def main():
    
14.     n = 1000000
    
15. 
    
16.     # set max window size
    
17.     window = 1
    
18.     while sum(primes[:window]) < n:
    
19.         window += 1
    
20. 
    
21.     # moving window
    
22.     while window > 1:
    
23.         # moving window start and end
    
24.         start = 0
    
25.         end = start + window
    
26. 
    
27.         # move till the end of prime list
    
28.         while end < len(primes):
    
29.             # test: always true, is sum of primes
    
30.             tmp = sum(primes[start:end])
    
31. 
    
32.             # too big, skip
    
33.             if tmp > n:
    
34.                 break
    
35. 
    
36.             # test: is prime, < n
    
37.             elif tmp < n and tmp in primes:
    
38.                 print ('found', window, tmp)
    
39.                 return
    
40. 
    
41.             # sliding window
    
42.             start += 1
    
43.             end = start + window - 1
    
44. 
    
45.         # try next window size
    
46.         window -= 1
    
47. main()
    

复制代码

愤怒的大头菇

1. import math
   
2. def Prime(x):
   
3.     if x >1:
   
4.         if x==2:
   
5.             return True
   
6.         if x%2==0:
   
7.             return False
   
8.         for i in range(3,int(math.sqrt(x)+1),2):
   
9.             if x%i==0:
   
10.                 return False
    
11.         return True
    
12.     return False
    
13. count = 0
    
14. list1=[]
    
15. i = 1
    
16. while True:
    
17.     if Prime(i):
    
18.         if count+i<1000000:
    
19.             count +=i
    
20.             list1.append(i)
    
21.         elif count +i>1000000:
    
22.             break
    
23.     i+=1
    
24. tmp = count
    
25. temp = count
    
26. if not Prime(count):
    
27.     for i in range(len(list1)):
    
28.         tmp -= list1[i]
    
29.         if Prime(tmp):
    
30.             break
    
31.     for i in range(1,len(list1)+1):
    
32.         temp -= list1[-i]
    
33.         if Prime(temp):
    
34.             break
    
35. if tmp >temp:
    
36.     print(tmp)
    
37. else:
    
38.     print(temp)

复制代码

结果：997651

芒果加黄桃

1. # encoding:utf-8
   
2. # 100万以内，可以写作最长的连续质数相加的质数
   
3. from time import time
   
4. def getPrimes(N):
   
5.     primes = [True] * N
   
6.     primes[0], primes[1] = False, False
   
7.     for i, prime in enumerate(primes):
   
8.         if prime:
   
9.             for j in range(i * i, N, i):
   
10.                 primes[j] = False
    
11.     return [k for k, p in enumerate(primes) if p ]
    
12. def euler050(N=1000000):
    
13.     l_pr = getPrimes(N)
    
14.     l_primes = [x for x in l_pr if x < 10000]
    
15.     s_primes = set(l_pr)
    
16.     for lenth in range(len(l_primes), 21, -1):
    
17.         for i in range(0, len(l_primes) - lenth + 1):
    
18.             sum_tmp = sum(l_primes[i:i + lenth])
    
19.             if sum_tmp > N:
    
20.                 break
    
21.             elif sum_tmp in s_primes:
    
22.                 print(sum_tmp, l_primes[i:i + lenth], len(l_primes[i:i + lenth]))
    
23.                 return
    
24.         pass
    
25. if __name__ == '__main__':
    
26.     start = time()
    
27.     euler050()
    
28.     print('cost %.6f sec' % (time() - start))
    

复制代码

997651 [7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931] 543
cost 0.423042 sec

渡风

%% Problem50.m
%最后编辑时间：2017-06-13 23:53 版本1.0
%找出100w以下的质数，使其为最长的连续质数的和

% 此代码使用matlab编程
% Problem50所用时间为0.10544秒
% Problem50的答案为997651

1. function Output = Problem50()
   
2. tic
   
3. % 刷出小于100w的质数
   
4. Limit = 1000000;
   
5.     Judge = ones(1,Limit-1);
   
6.     Judge(1) = 0;
   
7.     for ii = 1:Limit-1
   
8.         if Judge(ii) == 1
   
9.             for jj = 2*ii : ii : Limit-1
   
10.                 Judge(jj) = 0;
    
11.             end
    
12.         end
    
13.     end
    
14.     PossiFactor = find(Judge == 1);
    
15. % 所有质数依次相加
    
16. 
    
17. StoreL = 0;
    
18. StoreNum = 0;
    
19. 
    
20. for ii =1:1:10
    
21.     Vector = PossiFactor(ii:end);
    
22.     PrimeSum = cumsum(Vector);
    
23.     RealSum = PrimeSum( PrimeSum < Limit );
    
24.     BiggestL = length(RealSum);
    
25.    
    
26.     for jj = BiggestL : -1 :1
    
27.         if isprime(RealSum(jj)) == 1
    
28.             RealL = jj;
    
29.             NowNum = RealSum(jj);
    
30.             break
    
31.         end
    
32.     end
    
33.    
    
34.     if RealL > StoreL
    
35.         StoreL = RealL;
    
36.         StoreNum = NowNum;
    
37.     end
    
38. 
    
39.     NextVector = PossiFactor(ii+1:end);
    
40.     NextPrimeSum = cumsum(NextVector);
    
41.     NextRealSum = NextPrimeSum( NextPrimeSum < Limit );
    
42.     NextL = length(NextRealSum);
    
43.    
    
44.     if StoreL > NextL
    
45.         Output = StoreNum;
    
46.         break
    
47.     end
    
48.    
    
49.     disp([num2str(Vector(1)),'--',num2str(BiggestL),'--',num2str(RealL)])
    
50. end
    
51. 
    
52. toc
    
53. disp('此代码使用matlab编程')
    
54. disp(['Problem50所用时间为',num2str(toc),'秒'])
    
55. disp(['Problem50的答案为',num2str(Output)])
    
56. end
    

复制代码

najin

用matlab暴力求解的结果：
最多可以被写成的连续素数的个数是：543
这个数字是：997651
时间已过 126.783852 秒。
>>


改进算法后的结果：
最多可以被写成的连续素数的个数是：543
这个数字是：997651
时间已过 55.165089 秒。
>>

有空再来想想解法

王小召

最大值是：543
用时：0.5304034 秒

1. import time
   
2. 
   
3. 
   
4. def primes(N):
   
5.     N_bool = [1] * N
   
6.     N_bool[0], N_bool[1] = 0, 0
   
7.     for i, j in enumerate(N_bool):
   
8.         if j:
   
9.             for k in range(i**2, N, i):
   
10.                 N_bool[k] = 0
    
11.     return [z for z, p in enumerate(N_bool) if p]
    
12. 
    
13. Primes = primes(1000000)
    
14. # 因为已知最值中最大是21，所以最大肯定大于21，此时如果值大于1000000/21 连续值肯定是超出1000000的;
    
15. l_primes = [each for each in Primes if each < int(1000000/21)]
    
16. s_primes = set(Primes)
    
17. length = len(l_primes)
    
18. 
    
19. 
    
20. # 方法一，将length 从大到小找
    
21. def cal():
    
22.     for l in range(length, 21, -1):
    
23.         for i in range(length - l):
    
24.             tmp = sum(l_primes[i:i + l])
    
25.             if tmp > 1000000:
    
26.                 break
    
27.             else:
    
28.                 if tmp in s_primes:
    
29.                     return l
    
30. 
    
31. 
    
32. # 方法二，将length 从小到大去找，需借助中间变量，慢些，但是逻辑更清晰
    
33. def cal_2():
    
34.     Max_loop = 21
    
35.     for i in range(length):
    
36.         for j in range(21, length-i):
    
37.             tmp = sum(l_primes[i:i+j])
    
38.             if tmp > 1000000:
    
39.                 break
    
40.             else:
    
41.                 if tmp in s_primes and j > Max_loop:
    
42.                     Max_loop = j
    
43.     return Max_loop
    
44. 
    
45. print("最大值是：{}\n用时：{} 秒".format(cal(), time.process_time()))

复制代码

debuggerzh

997651

Process returned 0 (0x0)   execution time : 0.049 s
Press any key to continue.
欧氏筛

1. #include<iostream>
   
2. using namespace std;
   
3. 
   
4. const int M = 1e6;
   
5. int cnt = 0;
   
6. bool prime[M];
   
7. int factor[M];
   
8. 
   
9. void euler_sieve(){
   
10.   prime[1] = false;
    
11.   for (int i = 2;i <= M;i++) prime[i] = true;
    
12. 
    
13.   for (int i = 2;i <= M;i++){
    
14.     if (prime[i]) factor[++cnt] = i;
    
15.     for (int j = 1;j <= cnt && i*factor[j] < M;j++){
    
16.       prime[i*factor[j]] = false;
    
17.       if (i % factor[j] == 0) break;
    
18.     }
    
19.   }
    
20. }
    
21. 
    
22. int main(){
    
23.   euler_sieve();
    
24.   int ans = 0,maxl = -M;
    
25. 
    
26.   for (int i = 1;i <= cnt;i++){
    
27.     int sum = 0;
    
28.     for (int j = i;j <= cnt;j++){
    
29.       sum += factor[j];
    
30.       if (sum >= M) break;
    
31.       if (prime[sum] && j-i+1 > maxl){
    
32.         ans = sum;
    
33.         maxl = j-i+1;
    
34.       }
    
35.     }
    
36.   }
    
37.   
    
38.   cout << ans << endl;
    
39.   return 0;
    
40. }
    

复制代码

a1351468657

1. #include <stdio.h>
   
2. #include <math.h>
   
3. 
   
4. int check_prime(int);
   
5. int check_prime(int num)
   
6. {
   
7.         if (num == 2)
   
8.         {
   
9.                 return 1;
   
10.         }
    
11.         int i, j;
    
12.         j = sqrt(num + 1);
    
13. 
    
14.         for (i = 2; i <= j; i++)
    
15.         {
    
16.                 if (num % i == 0)
    
17.                 {
    
18.                         return 0;
    
19.                 }
    
20.         }
    
21.         return 1;
    
22. }
    
23. 
    
24. int main()
    
25. {
    
26.         int i, j, sum = 2;
    
27.         for (i = 3; sum < 1000000; i += 2)//找出 质数之和小于 1000000的数
    
28.         {
    
29.                 if (check_prime(i))
    
30.                 {
    
31.                         sum += i;
    
32.                         j = i;
    
33.                 }
    
34.        
    
35.         }
    
36.         sum = sum - j;//由于sum会1000000，所以减去最后加上的i
    
37.         i = 2;
    
38.         while (1)
    
39.         {
    
40.                 if (check_prime(sum))//判断sum是否是质数
    
41.                 {
    
42.                         break;
    
43.                 }
    
44.                 else//不是就减去从2开始的质数
    
45.                 {
    
46.                         sum -= i;
    
47.                 }
    
48.                 i++;
    
49.                 while (check_prime(i) == 0)//判断i是否为质数
    
50.                 {
    
51.                         i++;
    
52.                 }
    
53.         }
    
54. 
    
55. 
    
56.         printf("%d\n", sum);
    
57.         system("pause");
    
58.         return 0;
    
59. }#include <stdio.h>
    
60. #include <math.h>
    
61. 
    
62. int check_prime(int);
    
63. int check_prime(int num)
    
64. {
    
65.         if (num == 2)
    
66.         {
    
67.                 return 1;
    
68.         }
    
69.         int i, j;
    
70.         j = sqrt(num + 1);
    
71. 
    
72.         for (i = 2; i <= j; i++)
    
73.         {
    
74.                 if (num % i == 0)
    
75.                 {
    
76.                         return 0;
    
77.                 }
    
78.         }
    
79.         return 1;
    
80. }
    
81. 
    
82. int main()
    
83. {
    
84.         int i, j, sum = 2;
    
85.         for (i = 3; sum < 1000000; i += 2)//找出 质数之和小于 1000000的数
    
86.         {
    
87.                 if (check_prime(i))
    
88.                 {
    
89.                         sum += i;
    
90.                         j = i;
    
91.                 }
    
92.        
    
93.         }
    
94.         sum = sum - j;//由于sum会1000000，所以减去最后加上的i
    
95.         i = 2;
    
96.         while (1)
    
97.         {
    
98.                 if (check_prime(sum))//判断sum是否是质数
    
99.                 {
    
100.                         break;
     
101.                 }
     
102.                 else//不是就减去从2开始的质数
     
103.                 {
     
104.                         sum -= i;
     
105.                 }
     
106.                 i++;
     
107.                 while (check_prime(i) == 0)//判断i是否为质数
     
108.                 {
     
109.                         i++;
     
110.                 }
     
111.         }
     
112. 
     
113. 
     
114.         printf("%d\n", sum);
     
115.         system("pause");
     
116.         return 0;
     
117. }

复制代码

997651

guosl

1. /*
   
2. 答案：997651
   
3. 耗时：0.0030334秒
   
4. */
   
5. #include <iostream>
   
6. #include <vector>
   
7. #include <cstring>
   
8. using namespace std;
   
9. 
   
10. char cp[1000004];//素数表
    
11. int nps, nS[1000];//素数表的前缀和
    
12. 
    
13. void get_ini(void)
    
14. {
    
15.   //素数打表
    
16.   memset(cp, 1, sizeof(cp));
    
17.   cp[0] = 0;
    
18.   cp[1] = 0;
    
19.   for (int i = 2; i <= 1000; ++i)
    
20.   {
    
21.     if (cp[i] == 0)
    
22.       continue;
    
23.     for (int j = i * i; j <= 1000000; j += i)
    
24.       cp[j] = 0;
    
25.   }
    
26.   //作素数数组
    
27.   vector<int> vp;
    
28.   vp.push_back(2);
    
29.   for (int i = 3; i <= 1000000; i += 2)
    
30.   {
    
31.     if (cp[i] == 1)
    
32.       vp.push_back(i);
    
33.   }
    
34.   //求素数表的前缀和
    
35.   nS[0] = 0;
    
36.   for (int i = 0; i < (int)vp.size(); ++i)
    
37.   {
    
38.     nS[i + 1] = nS[nps++] + vp[i];
    
39.     if (nS[nps] > 2000000)
    
40.       break;
    
41.   }
    
42. }
    
43. 
    
44. int main(void)
    
45. {
    
46.   get_ini();
    
47.   int nMaxLen = 0, k;
    
48.   for (int i = 1; i <= nps; ++i)
    
49.   {
    
50.     for (int j = i - 1; j >= 0; --j)
    
51.     {
    
52.       int p = nS[i] - nS[j];
    
53.       if (p > 1000000)
    
54.         break;
    
55.       if (cp[p] == 1)
    
56.       {
    
57.         if (i - j > nMaxLen)
    
58.         {
    
59.           nMaxLen = i - j;
    
60.           k = p;
    
61.         }
    
62.       }
    
63.     }
    
64.   }
    
65.   cout << k << endl;
    
66.   return 0;
    
67. }

复制代码