浮点数：表示更大范围的小数（#）

小甲鱼

浮点数：表示更大范围的小数（#）

使用定点法来保存小数并不是最优秀的方案，不比整数，保存小数需要考虑到两个维度：精度和范围。

提高精度只能通过不断地扩充位数来实现；而定点数可以表示的取值范围十分有限（见上一节最后的栗子）。

浮点数的发明，正是为了解决取值范围的这个问题。


大家应该都知道科学计数法吧（百科：科学计数法），IEEE 浮点数表示方式跟科学计数法有些相似，但更为复杂。

IEEE 浮点标准用 的形式来表示一个数。

组成部分依次是“符号 * 尾数 *  阶码”：

• 符号（sign）决定这个数是正数（s = 0）还是负数（s = 1）；
• 尾数（significand）决定这个数的精度，这里是用定点法表示；
• 阶码（exponent）决定这个数的范围，它是一个加权值，权重自然是 2 的 E 次幂。
  

下边小甲鱼给大家列举出 C 语言中对 float 和 double 的封装格式：





可见，float 的三个字段分别是分配 1 位，8 位和 23 位；而 double 则是分配 1 位，11 位和 52 位。

当然，这里并不是直接用二进制表示各个字段的值，要不小甲鱼就不用写这篇文章了……



根据阶码（exponent）的值，上述编码还需要被解释成 4 种不同的情况（下边以 float 举例）：

1. 规格化的值



2. 非规格化的值



3. 无穷大



4. NaN（Not a Number，不是一个数）




OK，下边小甲鱼给大家逐一介绍：

1：规格化的值

这是最普遍的情况，当 exp 字段不全为 0，也不全为 1 的时候，属于这种情况。

在这种情况下，阶码字段被解释为以偏置（biased）形式表示的有符号整数。



呃……说人话就是你只需要记住公式：E = e - Bias

其中，e 是一个无符号数，其值为 exp 字段表示的值；Bias 是一个等于 （k 即阶码字段的位数）的偏置值。

由此不难推导出指数 E 的取值范围是 -126 ~ 127（float）和 -1022 ~ 1023（double）。

对于 frac 字段则被解释为描述小数的值，如果我们把该值称之为 f，则 0 <= f < 1，而尾数被定义为 M = 1 + f

因此，在这种情况下，尾数的第一位总是 1。


2：非规格化的值

当 exp 字段全为 0 的时候，所表示的数就是非规格化形式。

在这种情况下，阶码的值是 E = 1 - Bias

而尾数被定义为 M = f

因此，在这种情况下，尾数即小数的值（第一位不是 1）。

非规格化数用于表示那些非常接近 0.0 的数。


3. 无穷大

当 exp 字段全为 1，且 frac 字段全为 0 的情况下，该浮点数表示无穷。

即 s = 0，结果为正无穷；s = 1，结果为负无穷。

当我们把两个非常大的数相乘，或者除以 0 的时候，无穷能够表示溢出的结果。


4. NaN

在第 3 种情况的基础上，frac 即小数域为非 0 时，我们把结果称之为 NaN，即 Not a Number（不是一个数）。

一些运算的结果不能是实数或无穷来表示，就会返回这样的 NaN 值。


小甲鱼知道大家现在肯定云里雾里的，下边举几个栗子吧！



某天，小甲鱼在内存中捡到一个 float 变量，存储如下：



分析：

1. 符号位为 0，说明这丫是一个正数；

2. exp 字段不全为 0 或 1，表示这是一个规格化的值。根据公式 E = e - Bias，求得 E = 124 - 127 = -3；

3. frac 字段的值为 3/4（这里是定点数表示法，忘了的鱼油请回顾上一篇），则 M = 1 + 3/4 = 7/4

4. 根据浮点数公式，求得：



其实也是很简单的，对吧？！



回复“朕想知道”，给你看一篇文章 —— 浮点溢出的高昂代价

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本文参考：《深入理解计算机系统》P70 ~ 72

小甲鱼的二师兄

看看

小甲鱼的二师兄

朕知道了

hb8689

顶起来~~~~~~~~~~~~~

燃烧的水

11

燃烧的水

float的三个字段位分别是是1位，8位和23位？

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wmh.

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郑想知道

斯塔德

刚好在看这本书。正看的发晕呢

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tenqaz

郑想知道，
好难啊！！
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zwy12138

朕想知道

lawry

学习一下浮点数

唐尸诵词

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朕想知道

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上面“1位，8位，23位”编辑错了