题目122：找出计算幂的最高效方法

欧拉计划

Efficient exponentiation

The most naive way of computing n¹⁵ requires fourteen multiplications:

n × n × ... × n = n¹⁵

But using a "binary" method you can compute it in six multiplications:

n × n = n²
n² × n² = n⁴
n⁴ × n⁴ = n⁸
n⁸ × n⁴ = n¹²
n¹² × n² = n¹⁴
n¹⁴ × n = n¹⁵

However it is yet possible to compute it in only five multiplications:

n × n = n²
n² × n = n³
n³ × n³ = n⁶
n⁶ × n⁶ = n¹²
n¹² × n³ = n¹⁵

We shall define m(k) to be the minimum number of multiplications to compute n^k; for example m(15) = 5.

For 1 ≤ k ≤ 200, find ∑ m(k).

题目：

计算 n¹⁵ 的最朴素的算法要 14 次乘法

n × n × ... × n = n¹⁵

如果采用分治的方法，你可以只要六次乘法就完成这一工作：

n × n = n²
n² × n² = n⁴
n⁴ × n⁴ = n⁸
n⁸ × n⁴ = n¹²
n¹² × n² = n¹⁴
n¹⁴ × n = n¹⁵

然而，只用 5 次乘法的方法也是存在的：

n × n = n²
n² × n = n³
n³ × n³ = n⁶
n⁶ × n⁶ = n¹²
n¹² × n³ = n¹⁵

我们定义 m(k) 为计算 n^k 所需的乘法的最少次数，比如 m(15)=5。

对于 1 ≤ k ≤ 200, 求 m(k) 的和。

jerryxjr1220

解答：

1. #coding:utf-8
   
2. L = 201
   
3. ways = [[[0]*L] for i in range(L)]
   
4. ways[2] = [[2,1]]
   
5. for i in range(2,L):
   
6.     for eachway in ways[i]:
   
7.         for p in eachway:
   
8.             n = i + p
   
9.             if n < L:
   
10.                 if min([len(each) for each in ways[n]]) > min([len(each) for each in ways[i]]) + 1:
    
11.                     ways[n] = [[n] + eachway]
    
12.                 elif min([len(each) for each in ways[n]]) == min([len(each) for each in ways[i]]) + 1:
    
13.                     ways[n] += [[n] + eachway]
    
14. 
    
15. print (sum([(min([len(each) for each in ways[x]])-1) for x in range(2,201)]))

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答案：
1582

guosl

1. //应用带路径的广搜
   
2. #include <iostream>
   
3. #include <vector>
   
4. #include <queue>
   
5. #include <algorithm>
   
6. #include <cstring>
   
7. using namespace std;
   
8. 
   
9. const int nN = 200;
   
10. int m[nN + 1];//记录最短路径长度
    
11. 
    
12. queue<vector<int> > q;//带路径的广搜队列
    
13. 
    
14. int main(void)
    
15. {
    
16.   for (int i = 1; i <= nN; ++i)
    
17.     m[i] = i - 1;
    
18.   vector<int> v;//记录搜索的路径
    
19.   v.push_back(1);
    
20.   q.push(v);
    
21.   while (!q.empty())
    
22.   {
    
23.     vector<int> v0 = q.front();
    
24.     q.pop();
    
25.     for (int i = 0; i < (int)v0.size(); ++i)//扩展下一个节点
    
26.     {
    
27.       int k = v0.back();
    
28.       k += v0[i];
    
29.       if (k <= nN)//检查数据的有效性
    
30.       {
    
31.         if (v0.size() <= m[k])//找到更短的路径
    
32.         {
    
33.           m[k] = v0.size();
    
34.           v = v0;
    
35.           v.push_back(k);
    
36.           q.push(v);
    
37.         }
    
38.       }
    
39.     }
    
40.   }
    
41.   int nS = 0;
    
42.   for (int i = 1; i <= nN; ++i)
    
43.   {
    
44.     cout << i << ": " << m[i] << endl;
    
45.     nS += m[i];
    
46.   }
    
47.   cout << nS << endl;
    
48.   return 0;
    
49. }
    

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答案：1582