题目138：考察高和底边相差1的等腰三角形

欧拉计划

Special isosceles triangles

Consider the isosceles triangle with base length, b = 16, and legs, L = 17.

By using the Pythagorean theorem it can be seen that the height of the triangle, h = √(17² − 8²) = 15, which is one less than the base length.

With b = 272 and L = 305, we get h = 273, which is one more than the base length, and this is the second smallest isosceles triangle with the property that h = b ± 1.

Find ∑ L for the twelve smallest isosceles triangles for which h = b ± 1 and b, L are positive integers.

题目：

考虑底边 b 长为 16，腰长 L 为 17 的等腰三角形：

利用勾股定理可知此三角形的高 h 为 h = √(17² − 8²) = 15，比底边长少 1。

当 b = 272， L = 305 时，可以得到 h = 273，比底边长大 1。而这也是第二小的满足 h = b ± 1 的等腰三角形。

求前 12 个满足此性质的三角形的 L 之和，其中 b 和 L 均为正整数。

jerryxjr1220

程序是很简单，关键是要运行多久的问题。前8个：

1. 16
   
2. 272
   
3. 4896
   
4. 87840
   
5. 1576240
   
6. 28284464
   
7. 59907457
   
8. 91530450
   
9. [Finished in 179.3s]

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1. lst = []
   
2. for d in range(2,100000000):
   
3.         l1 = (0.25*d*d + (d-1)*(d-1))**0.5
   
4.         l2 = (0.25*d*d + (d+1)*(d+1))**0.5
   
5.         if l1 == int(l1) or l2 == int(l2):
   
6.                 lst.append(d)
   
7.                 print (d)

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鱼玄机--林

jerryxjr1220 发表于 2016-9-28 15:38
程序是很简单，关键是要运行多久的问题。前8个：

老哥这个题目的答案是多少啊，我算的是872587755

guosl

先假设b=2y,h=b+1，则L^2=y^2 + (2y+1)^2
L^2 -5b^2 - 4b - 1 = 0;
而这个二次不定方程的整数解有递推式（https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM）
x(n+1) = - 9x(n) - 20y(n) - 8
y(n+1) = - 4x(n) - 9y(n) - 4
再假设b=2y,h=b-1，则L^2=y^2 + (2y-1)^2
L^2 -5b^2 + 4b - 1 = 0;
而这个二次不定方程的整数解有递推式
x(n+1) = - 9x(n) - 20y(n) + 8;
y(n+1) = - 4x(n) - 9y(n) + 4;
但这两个递推得出的结果就前后相差一项，所以任取一个都行，又对x来讲正负都一样，
而y是负的正好对应于h=b-1的情况。
答案：1118049290473932

1. #include <iostream>
   
2. #include <cstdlib>
   
3. using namespace std;
   
4. 
   
5. int main(void)
   
6. {
   
7.   long long x1 = 1, x2, y1 = 0, y2;
   
8.   unsigned long long nS = 0;
   
9.   for (int i = 1; i <= 12; ++i)
   
10.   {
    
11.     x2 = -9 * x1 - 20 * y1 - 8;
    
12.     y2 = -4 * x1 - 9 * y1 - 4;
    
13.     long long h, b;
    
14.     b = 2 * abs(y2);
    
15.     if (y2 < 0)
    
16.       h = b - 1;
    
17.     else
    
18.       h = b + 1;
    
19.     x1 = x2;
    
20.     y1 = y2;
    
21.     nS += abs(x1);
    
22.   }
    
23.   cout << nS << endl;
    
24.   return 0;
    
25. }
    

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