题目182：RSA加密

欧拉计划

RSA encryption

The RSA encryption is based on the following procedure:

Generate two distinct primes p and q.
Compute n=pq and φ=(p-1)(q-1).
Find an integer e, 1<e<φ, such that gcd(e,φ)=1.

A message in this system is a number in the interval [0,n-1].
A text to be encrypted is then somehow converted to messages (numbers in the interval [0,n-1]).
To encrypt the text, for each message, m, c=m^e mod n is calculated.

To decrypt the text, the following procedure is needed: calculate d such that ed=1 mod φ, then for each encrypted message, c, calculate m=c^d mod n.

There exist values of e and m such that m^e mod n=m.
We call messages m for which m^e mod n=m unconcealed messages.

An issue when choosing e is that there should not be too many unconcealed messages.
For instance, let p=19 and q=37.
Then n=19*37=703 and φ=18*36=648.
If we choose e=181, then, although gcd(181,648)=1 it turns out that all possible messages
m (0≤m≤n-1) are unconcealed when calculating m^e mod n.
For any valid choice of e there exist some unconcealed messages.
It's important that the number of unconcealed messages is at a minimum.

Choose p=1009 and q=3643.
Find the sum of all values of e, 1<e<φ(1009,3643) and gcd(e,φ)=1, so that the number of unconcealed messages for this value of e is at a minimum.

题目：

RSA 加密基于以下的过程：

生成 2 个不同的质数 p 和 q。

计算 n=pq 和 φ=(p-1)(q-1)。

找到一个整数 e，1<e<φ，并且 gcd(e,φ)=1（即二者互质）


在这个系统中的一条消息就是 [0，n-1] 中的一个数。

需要被加密的文本会被转换成消息（一些 [0,n-1] 之间的数)。

为了对文本加密，对于每个消息 m， 计算 c=m^e mod n。


要解密文本，则需要下面的过程：

计算 d，满足 ed=1 mod φ，然后，对所有的加密消息 c，计算 m=c^d mod n


存在 e 和 m 的值，满足 m^e mod n=m。

我们把满足 m^e mod n=m 的消息 m 叫做公开消息。


一个选择 e 的问题是，不应该存在过多的公开消息。

比如，设 p=19 ， q=37。则 n=19*37=703 ， φ=18*36=648

如果我们选择 e = 181，则尽管 gcd(181,648)=1，但可以证明，当计算 m^e mod n 时，所有可能的消息 m (0≤m≤n-1) 都是公开的。


对于任意有效的 e，总是会存在一些公开消息。

让公开消息数目最少，是非常重要的。


选择 p=1009 ，q=3643，找出所有满足下面条件的 e 值的和：

1<e<φ(1009,3643) 以及 gcd(e,φ)=1，满足这两个条件的 e 得到的公开消息数是最少的。